8.90 Um reservatório cilíndrico, fechado, fabricado a partir de uma placa grossa de 10 mm de espessura, está sujeito a uma pressão interna p=6 \mathrm{MPa}. Determine:
(a) O diâmetro máximo do reservatório, se a tensão cisalhante máxima é limitada a 30 MPa .
(b) O valor limite da tensão de tração para o diâmetro obtido no item (a).

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
\text{espessura } t = 10\\ \mathrm{mm},
\text{pressão interna } p = 6\\ \mathrm{MPa},ã
\text{tensão cisalhante máxima permitida } \tau_{\max,\text{lim}} = 30\\ \mathrm{MPa}.ãá
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o diâmetro máximo do reservatório tal que a tensão cisalhante máxima não ultrapasse \tau_{\max,\text{lim}}=30\\ \mathrm{MPa}.
(b) Para o diâmetro obtido no item (a), determinar o valor limite da tensão de tração (ou seja, a maior tensão normal presente na parede).

Passo 2

Entendendo as tensões em um cilindro de parede fina (explicação didática e passo a passo).
Quando a espessura t é pequena comparada ao diâmetro D (caso típico de reservatório), podemos usar a aproximação de casca de parede fina. Nessa hipótese as duas tensões principais na parede são:
  • tensão circunferencial (ou de aro, hoop), que chamaremos de \sigma_\theta,
  • tensão longitudinal (ou axial), que chamaremos de \sigma_x.
Derivação simples da fórmula da tensão circunferencial \sigma_\theta (método por equilíbrio de forças, muito útil na prova):
  • Considere um pedaço da casca de comprimento unitário (comprimento axial =1). A pressão interna age sobre a projeção desse pedaço com uma força total por unidade de comprimento igual a p \times D (pressão vezes a largura projetada D).
  • Essa força é equilibrada pela força de tração nas bordas (duas arestas longitudinais), cada uma com área t \times 1 e tensão \sigma_\theta. Assim a força resistente total é 2\,\sigma_\theta\,t.
    Equacionando:
pD = 2\,\sigma_\theta\,t \quad\Rightarrow\quad \sigma_\theta = \frac{pD}{2t}.
Derivação da tensão axial \sigma_x (equilíbrio das forças sobre a tampa fechada):
  • A força axial exercida pela pressão sobre a tampa é p vezes a área da seção transversal, p\cdot \tfrac{\pi D^2}{4}.
  • Essa força é equilibrada pela força na parede ao redor da circunferência: tensão \sigma_x agindo numa área aproximada \pi D\,t.
    Equacionando:
p\cdot \frac{\pi D^2}{4} = \sigma_x \cdot \pi D t \quad\Rightarrow\quad \sigma_x = \frac{pD}{4t}.
Portanto, as fórmulas úteis (para parede fina) são:
\sigma_\theta = \frac{pD}{2t}, \qquad \sigma_x = \frac{pD}{4t}.

Passo 3

Como obter a tensão cisalhante máxima a partir de \sigma_\theta e \sigma_x (explicação didática).
Em estado plano (tensões principais \sigma_1 e \sigma_2), a máxima tensão de cisalhamento em um ponto vale metade da diferença entre as tensões principais:
\tau_{\max} = \frac{|\sigma_1 - \sigma_2|}{2}.
No nosso caso as tensões principais são \sigma_\theta e \sigma_x (ambas normais no plano da espessura), e \sigma_\theta > \sigma_x. Assim:
\tau_{\max} = \frac{\sigma_\theta - \sigma_x}{2}.
Substituindo as expressões de \sigma_\theta e \sigma_x:
\tau_{\max} = \frac{1}{2}\!\left(\frac{pD}{2t} - \frac{pD}{4t}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{pD}{4t} = \frac{pD}{8t}.
Esta é a expressão que relaciona a pressão, o diâmetro e a espessura com a máxima tensão cisalhante na parede.

Passo 4

Resolver o item (a): achar o diâmetro máximo impondo \tau_{\max} \le 30\\ \mathrm{MPa}.
Partimos da expressão:
\tau_{\max} = \frac{pD}{8t}.
Impondo \tau_{\max} = \tau_{\max,\text{lim}} = 30\\ \mathrm{MPa} e isolando D:
D = \frac{8t\,\tau_{\max,\text{lim}}}{p}.
Agora substituímos os valores (uso unidades coerentes: aqui trabalhar em \mathrm{mm} e \mathrm{MPa} é consistente porque \mathrm{MPa}\cdot\mathrm{mm}/\mathrm{MPa} devolve \mathrm{mm}):
D = \frac{8\cdot 10\\ \mathrm{mm}\cdot 30\\ \mathrm{MPa}}{6\\ \mathrm{MPa}}.
Calcule passo a passo:
8\cdot 10 = 80, \quad 80\cdot 30 = 2400, \quad \frac{2400}{6} = 400.
Portanto
D = 400\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Verificação da hipótese de parede fina (importante na prova): a condição prática é normalmente t/D \le 0,1.
Aqui:
\frac{t}{D} = \frac{10\\ \mathrm{mm}}{400\\ \mathrm{mm}} = 0,025 = 2{,}5\%.
Como 0{,}025 < 0{,}1, a aproximação de parede fina é válida. Bom sinal — nossas fórmulas são apropriadas.

Passo 6

Resolver o item (b): calcular a tensão de tração limite (a maior tensão normal) para D=400\\ \mathrm{mm}.
A maior tensão normal é a tensão circunferencial \sigma_\theta. Usamos:
\sigma_\theta = \frac{pD}{2t}.
Substituindo valores (novamente usando \mathrm{MPa} e \mathrm{mm} coerentes):
\sigma_\theta = \frac{6\\ \mathrm{MPa}\cdot 400\\ \mathrm{mm}}{2\cdot 10\\ \mathrm{mm}}.
Calcule passo a passo:
2\cdot 10 = 20,\quad \frac{400}{20} = 20,\quad 6\cdot 20 = 120.
Logo
\sigma_\theta = 120\\ \mathrm{MPa}.
Para referência, a tensão axial vale metade disso:
\sigma_x = \frac{pD}{4t} = \frac{120}{2} = 60\\ \mathrm{MPa}.
Portanto o valor limite da tensão de tração (a maior tensão normal na parede) é \sigma_\theta = 120\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

(a) D = 400\\ \mathrm{mm}
(b) \sigma_{\text{tração, máx}} = \sigma_\theta = 120\\ \mathrm{MPa}çãá

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