8.90 Um reservatório cilíndrico, fechado, fabricado a partir de uma placa grossa de 10 mm de espessura, está sujeito a uma pressão interna
. Determine:
(a) O diâmetro máximo do reservatório, se a tensão cisalhante máxima é limitada a 30 MPa .
(b) O valor limite da tensão de tração para o diâmetro obtido no item (a).
(a) O diâmetro máximo do reservatório, se a tensão cisalhante máxima é limitada a 30 MPa .
(b) O valor limite da tensão de tração para o diâmetro obtido no item (a).
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado:
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o diâmetro máximo do reservatório tal que a tensão cisalhante máxima não ultrapasse .
(b) Para o diâmetro obtido no item (a), determinar o valor limite da tensão de tração (ou seja, a maior tensão normal presente na parede).
(a) Determinar o diâmetro máximo do reservatório tal que a tensão cisalhante máxima não ultrapasse
(b) Para o diâmetro obtido no item (a), determinar o valor limite da tensão de tração (ou seja, a maior tensão normal presente na parede).
Passo 2
Entendendo as tensões em um cilindro de parede fina (explicação didática e passo a passo).
Quando a espessura
é pequena comparada ao diâmetro
(caso típico de reservatório), podemos usar a aproximação de casca de parede fina. Nessa hipótese as duas tensões principais na parede são:
- tensão circunferencial (ou de aro, hoop), que chamaremos de
, - tensão longitudinal (ou axial), que chamaremos de
.
Derivação simples da fórmula da tensão circunferencial
(método por equilíbrio de forças, muito útil na prova):
- Considere um pedaço da casca de comprimento unitário (comprimento axial
). A pressão interna age sobre a projeção desse pedaço com uma força total por unidade de comprimento igual a (pressão vezes a largura projetada ). - Essa força é equilibrada pela força de tração nas bordas (duas arestas longitudinais), cada uma com área
e tensão . Assim a força resistente total é .
Equacionando:
Derivação da tensão axial
(equilíbrio das forças sobre a tampa fechada):
- A força axial exercida pela pressão sobre a tampa é
vezes a área da seção transversal, . - Essa força é equilibrada pela força na parede ao redor da circunferência: tensão
agindo numa área aproximada .
Equacionando:
Portanto, as fórmulas úteis (para parede fina) são:
Passo 3
Como obter a tensão cisalhante máxima a partir de
e
(explicação didática).
Em estado plano (tensões principais
e
), a máxima tensão de cisalhamento em um ponto vale metade da diferença entre as tensões principais:
No nosso caso as tensões principais são
e
(ambas normais no plano da espessura), e
. Assim:
Substituindo as expressões de
e
:
Esta é a expressão que relaciona a pressão, o diâmetro e a espessura com a máxima tensão cisalhante na parede.
Passo 4
Resolver o item (a): achar o diâmetro máximo impondo
.
Partimos da expressão:
Impondo
e isolando
:
Agora substituímos os valores (uso unidades coerentes: aqui trabalhar em
e
é consistente porque
devolve
):
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 5
Verificação da hipótese de parede fina (importante na prova): a condição prática é normalmente
.
Aqui:
Aqui:
Como
, a aproximação de parede fina é válida. Bom sinal — nossas fórmulas são apropriadas.
Passo 6
Resolver o item (b): calcular a tensão de tração limite (a maior tensão normal) para
.
A maior tensão normal é a tensão circunferencial
. Usamos:
Substituindo valores (novamente usando
e
coerentes):
Calcule passo a passo:
Logo
Para referência, a tensão axial vale metade disso:
Portanto o valor limite da tensão de tração (a maior tensão normal na parede) é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)