1.94. A amostra de madeira está submetida a uma tração de 10 kN em uma máquina de teste de tração. Supondo que a tensão normal admissível da madeira seja
e a tensão de cisalhamento admissível seja
, determinar as dimensões
e
necessárias de modo que a amostra atinja essas tensões simultaneamente. A amostra tem largura de 25 mm .
Passo 1
Dados fornecidos:
Amostra com largura dada:
(o enunciado diz “A amostra tem largura de
”).
O que é pedido:
- Determinar as dimensões
e necessárias de modo que, ao aplicar , a tensão normal atinja e a tensão de cisalhamento atinja simultaneamente.
Observação sobre interpretação (assunção necessária):
- Vou interpretar a amostra como uma peça de seção retangular cujas dimensões transversais são
(largura) e (espessura), de modo que a área resistente à tração é . - Existem diferentes configurações possíveis para a área que sofre cisalhamento (por exemplo: cisalhamento numa única superfície com área igual a
— “cisalhamento simples”, ou cisalhamento em duas superfícies idênticas — “cisalhamento duplo”, onde a área total de cisalhamento seria ). Vou analisar as configurações típicas (cisalhamento simples e cisalhamento duplo) e a condição geral para existência de solução.
Passo 2
Fórmulas básicas e significado das variáveis (aula rápida e prática):
- Tensão normal média (tração axial) numa seção de área
:
Aqui
é a força axial (N) e
é a área da seção transversal (mm
). Para seção retangular,
com
e
em mm; então
- Tensão de cisalhamento média numa área de cisalhamento
:
Dependendo da configuração,
pode ser
(cisalhamento simples, uma única superfície) ou
(cisalhamento duplo, duas superfícies idênticas).
Explicando em palavras: a tensão é sempre a força dividida pela área que a suporta. Se a mesma área suporta tanto tração quanto cisalhamento, as fórmulas terão a mesma dependência geométrica; se a área de cisalhamento for diferente (por ex. duas superfícies), muda o denominador.
Passo 3
Condição de simultaneidade — escrever as equações que teríamos que satisfazer:
- Para que a tensão normal atinja o admissível:
- Para que a tensão de cisalhamento atinja o admissível, temos duas possibilidades comuns para
:
- Cisalhamento simples (
):
- Cisalhamento duplo (
):
Observação: Se o problema tiver outra geometria de cisalhamento, a área de cisalhamento pode ser diferente; mas as formas acima cobrem as situações mais comuns e são suficientes para testar a possibilidade de simultaneidade.
Passo 4
Análise para cisalhamento simples:
- Comparando as duas equações para cisalhamento simples, ambas têm o mesmo lado esquerdo
. Para que tanto quanto atinjam seus admissíveis simultaneamente seria necessário:
Substituindo os valores:
o que é falso. Logo, com a mesma área (
) não há como obter simultaneamente
e
.
Passo 5
Análise para cisalhamento duplo:
- Para cisalhamento duplo, das equações obtemos a relação entre os admissíveis que seria necessária:
ou equivalentemente
Substituindo:
que não é igual a
. Portanto, mesmo com cisalhamento duplo (área de cisalhamento =
), não é possível que as duas tensões atinjam seus valores admissíveis ao mesmo tempo, porque as exigências numéricas não batem.
Passo 6
Interpretação geral e condição para existência de solução:
- Em geral, escrevendo
e (onde é o número efetivo de “planos” de cisalhamento ou fator geométrico que relaciona as áreas), as equações simultâneas pediriam:
Dividindo a primeira pela segunda:
Ou seja, para existir solução com a mesma
e
a geometria deve proporcionar um fator
igual a
.
- Calculando esse valor com os dados:
Isto significa que, para que as duas tensões atinjam simultaneamente seus limites com a mesma
e
, a área de cisalhamento teria de ser 10 vezes a área à tração. As configurações comuns analisadas antes (cisalhamento simples
, cisalhamento duplo
) não atendem — precisaríamos de uma geometria com
(por exemplo, dez planos de cisalhamento idênticos ou uma área de cisalhamento 10 vezes maior que a área de tração).
Passo 7
Resultados práticos úteis (se a largura dada
for tomada como fixa):
- Se aceitarmos
e quisermos projetar para que ao menos a tensão normal atinja exatamente o admissível, encontramos da equação
ou seja
Substituindo números:
- Se, em vez disso, projetarmos para que a tensão de cisalhamento atinja exatamente o admissível (assumindo cisalhamento simples
), então
- Se quisermos a espessura que faz a tensão de cisalhamento atingir
no caso de cisalhamento duplo ( ):
Passo 8
Conclusão final (explicada de forma direta e motivadora):
-
Com as hipóteses padrão (seção retangular, área de tração
e áreas de cisalhamento típicas como ou ), não existe um par que faça simultaneamente e , porque os admissíveis numéricos exigiriam um fator geométrico (isto é, a área de cisalhamento teria de ser 10 vezes a área de tração). Isso é incompatível com as configurações comuns (cisalhamento simples ou duplo). -
Se o enunciado pretendia um caso diferente (por exemplo, áreas de cisalhamento e de tração distintas por projeto, presença de múltiplos planos de cisalhamento, sobreposições, etc.), então é preciso especificar essa geometria. Sem essa informação, a resposta correta é que não existe solução nas configurações usuais; em contrapartida, dei as espessuras necessárias quando se quer satisfazer isoladamente cada critério (tensão normal ou cisalhamento), considerando
.
Resposta
Não existe par de dimensões
(para as configurações usuais de cisalhamento simples ou duplo) que permita atingir simultaneamente
e
.
Se e quisermos satisfazer apenas a tensão normal:
.
Se e quisermos satisfazer apenas o cisalhamento (cisalhamento simples):
.
Se e quisermos satisfazer apenas o cisalhamento (cisalhamento duplo):
.
Se
Se
Se