1.94. A amostra de madeira está submetida a uma tração de 10 kN em uma máquina de teste de tração. Supondo que a tensão normal admissível da madeira seja \left(\sigma_{t}\right)_{\text {adm }}=12 \mathrm{MPa} e a tensão de cisalhamento admissível seja \tau_{\mathrm{adm}}=1,2 \mathrm{MPa}, determinar as dimensões b e t necessárias de modo que a amostra atinja essas tensões simultaneamente. A amostra tem largura de 25 mm .

Passo 1

Dados fornecidos:
P = 10\\ \text{kN} = 10000\\ \text{N}
\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}} = 12\\ \text{MPa} = 12\\ \text{N/mm}^2
\tau_{\text{adm}} = 1{,}2\\ \text{MPa} = 1{,}2\\ \text{N/mm}^2
Amostra com largura dada: 25\\ \text{mm} (o enunciado diz “A amostra tem largura de 25\\ \text{mm}”).
O que é pedido:
  • Determinar as dimensões b e t necessárias de modo que, ao aplicar P, a tensão normal atinja \left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}} e a tensão de cisalhamento atinja \tau_{\text{adm}} simultaneamente.
Observação sobre interpretação (assunção necessária):
  • Vou interpretar a amostra como uma peça de seção retangular cujas dimensões transversais são b (largura) e t (espessura), de modo que a área resistente à tração é A_{\text{tensão}} = b\cdot tã.
  • Existem diferentes configurações possíveis para a área que sofre cisalhamento (por exemplo: cisalhamento numa única superfície com área igual a b\cdot t — “cisalhamento simples”, ou cisalhamento em duas superfícies idênticas — “cisalhamento duplo”, onde a área total de cisalhamento seria 2b\cdot t). Vou analisar as configurações típicas (cisalhamento simples e cisalhamento duplo) e a condição geral para existência de solução.

Passo 2

Fórmulas básicas e significado das variáveis (aula rápida e prática):
  • Tensão normal média (tração axial) numa seção de área A:
\sigma = \frac{P}{A}.
Aqui P é a força axial (N) e A é a área da seção transversal (mm ^2). Para seção retangular, A = b\cdot t com b e t em mm; então
\sigma = \frac{P}{b\cdot t}.
  • Tensão de cisalhamento média numa área de cisalhamento A_s:
\tau = \frac{P}{A_s}.
Dependendo da configuração, A_s pode ser b\cdot t (cisalhamento simples, uma única superfície) ou 2b\cdot t (cisalhamento duplo, duas superfícies idênticas).
Explicando em palavras: a tensão é sempre a força dividida pela área que a suporta. Se a mesma área suporta tanto tração quanto cisalhamento, as fórmulas terão a mesma dependência geométrica; se a área de cisalhamento for diferente (por ex. duas superfícies), muda o denominador.

Passo 3

Condição de simultaneidade — escrever as equações que teríamos que satisfazer:
  • Para que a tensão normal atinja o admissível:
\frac{P}{b\cdot t} = \left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}.
  • Para que a tensão de cisalhamento atinja o admissível, temos duas possibilidades comuns para A_s:
  1. Cisalhamento simples ( A_s=b\cdot t):
\frac{P}{b\cdot t} = \tau_{\text{adm}}.
  1. Cisalhamento duplo ( A_s=2b\cdot t):
\frac{P}{2b\cdot t} = \tau_{\text{adm}}.
Observação: Se o problema tiver outra geometria de cisalhamento, a área de cisalhamento pode ser diferente; mas as formas acima cobrem as situações mais comuns e são suficientes para testar a possibilidade de simultaneidade.

Passo 4

Análise para cisalhamento simples:
  • Comparando as duas equações para cisalhamento simples, ambas têm o mesmo lado esquerdo \dfrac{P}{b\cdot t}. Para que tanto \sigma quanto \tau atinjam seus admissíveis simultaneamente seria necessário:
\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}} = \tau_{\text{adm}}.
Substituindo os valores:
12\\ \text{MPa} \stackrel{?}{=} 1{,}2\\ \text{MPa},
o que é falso. Logo, com a mesma área ( A_s=b\cdot t) não há como obter simultaneamente \sigma=\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}} e \tau=\tau_{\text{adm}}.

Passo 5

Análise para cisalhamento duplo:
  • Para cisalhamento duplo, das equações obtemos a relação entre os admissíveis que seria necessária:
\tau_{\text{adm}} = \frac{1}{2}\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}},
ou equivalentemente
\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}} = 2\tau_{\text{adm}}.
Substituindo:
2\tau_{\text{adm}} = 2\cdot 1{,}2 = 2{,}4\\ \text{MPa},
que não é igual a 12\\ \text{MPa}. Portanto, mesmo com cisalhamento duplo (área de cisalhamento = 2b\cdot t), não é possível que as duas tensões atinjam seus valores admissíveis ao mesmo tempo, porque as exigências numéricas não batem.

Passo 6

Interpretação geral e condição para existência de solução:
  • Em geral, escrevendo A_{\text{tensão}}=b\cdot tã e A_{\text{cisalh}} = n\cdot b\cdot t (onde n é o número efetivo de “planos” de cisalhamento ou fator geométrico que relaciona as áreas), as equações simultâneas pediriam:
\frac{P}{b\cdot t} = \left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}} \quad\text{e}\quad \frac{P}{n\cdot b\cdot t} = \tau_{\text{adm}}.
Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}}{\tau_{\text{adm}}} = n.
Ou seja, para existir solução com a mesma b e t a geometria deve proporcionar um fator n igual a \dfrac{\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}}{\tau_{\text{adm}}}.
  • Calculando esse valor com os dados:
n = \frac{12}{1{,}2} = 10.
Isto significa que, para que as duas tensões atinjam simultaneamente seus limites com a mesma b e t, a área de cisalhamento teria de ser 10 vezes a área à tração. As configurações comuns analisadas antes (cisalhamento simples n=1, cisalhamento duplo n=2) não atendem — precisaríamos de uma geometria com n=10 (por exemplo, dez planos de cisalhamento idênticos ou uma área de cisalhamento 10 vezes maior que a área de tração).

Passo 7

Resultados práticos úteis (se a largura dada b=25\\ \text{mm} for tomada como fixa):
  • Se aceitarmos b=25\\ \text{mm} e quisermos projetar para que ao menos a tensão normal atinja exatamente o admissível, encontramos t da equação
\frac{P}{b\cdot t} = \left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}
ou seja
t = \frac{P}{b\cdot\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}}.
Substituindo números:
t = \frac{10000}{25\cdot 12} = \frac{10000}{300} = 33{,}333\\ \text{mm}.
  • Se, em vez disso, projetarmos para que a tensão de cisalhamento atinja exatamente o admissível (assumindo cisalhamento simples A_s=b\cdot t), então
t = \frac{P}{b\cdot\tau_{\text{adm}}} = \frac{10000}{25\cdot 1{,}2} = \frac{10000}{30} = 333{,}333\\ \text{mm}.
  • Se quisermos a espessura que faz a tensão de cisalhamento atingir \tau_{\text{adm}} no caso de cisalhamento duplo ( A_s=2b\cdot t):
t = \frac{P}{2b\cdot\tau_{\text{adm}}} = \frac{10000}{2\cdot25\cdot1{,}2} = 166{,}667\\ \text{mm}.

Passo 8

Conclusão final (explicada de forma direta e motivadora):
  • Com as hipóteses padrão (seção retangular, área de tração =b\cdot t e áreas de cisalhamento típicas como b\cdot t ou 2b\cdot t), não existe um par b,t que faça simultaneamente \sigma=\left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}} e \tau=\tau_{\text{adm}}, porque os admissíveis numéricos exigiriam um fator geométrico n=10 (isto é, a área de cisalhamento teria de ser 10 vezes a área de tração). Isso é incompatível com as configurações comuns (cisalhamento simples ou duplo).
  • Se o enunciado pretendia um caso diferente (por exemplo, áreas de cisalhamento e de tração distintas por projeto, presença de múltiplos planos de cisalhamento, sobreposições, etc.), então é preciso especificar essa geometria. Sem essa informação, a resposta correta é que não existe solução nas configurações usuais; em contrapartida, dei as espessuras necessárias quando se quer satisfazer isoladamente cada critério (tensão normal ou cisalhamento), considerando b=25\\ \text{mm}.

Resposta

Não existe par de dimensões b,t (para as configurações usuais de cisalhamento simples ou duplo) que permita atingir simultaneamente \left(\sigma_{t}\right)_{\text{adm}}=12\\ \text{MPa} e \tau_{\text{adm}}=1{,}2\\ \text{MPa}.
Se b=25\\ \text{mm} e quisermos satisfazer apenas a tensão normal: t=33{,}333\\ \text{mm}.
Se b=25\\ \text{mm} e quisermos satisfazer apenas o cisalhamento (cisalhamento simples): t=333{,}333\\ \text{mm}.
Se b=25\\ \text{mm} e quisermos satisfazer apenas o cisalhamento (cisalhamento duplo): t=166{,}667\\ \text{mm}.

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