A barra prismática tem uma área da seção transversal A. Supondo que ela esteja submetida a uma carga axial distribuída que aumenta linearmente de w=0 em x=0 a w=w_{0} em x=a e depois decresce linearmente para w=0 em x=2 a, determinar a tensão normal média na barra em função de x no intervalo
a<x \leq 2 a.

Passo 1

O enunciado dá uma barra prismática com área da seção transversal A. Sobre a barra atua uma carga axial distribuída w que varia linearmente assim: w=0 em x=0, cresce até w=w_{0} em x=a e depois decresce linearmente até w=0 em x=2a. A pergunta é: determinar a tensão normal média na barra em função de x no intervalo a<x\leq 2a. Informações relevantes que temos: A, w(0)=0, w(a)=w_{0}, w(2a)=0, e queremos \sigma_{\text{m}}(x) para a<x\leq 2a.

Passo 2

Escolhemos um ponto de seção transversal localizado em x com a<x\leq 2a. Para obter a tensão média naquela seção usamos o princípio de equilíbrio: a força normal interna N(x) na seção deve equilibrar o resultado das cargas distribuídas atuando no trecho à direita da seção (trecho x até 2a). A tensão média é a força normal dividida pela área, ou seja
\sigma_{\text{m}}(x)=\frac{N(x)}{A}.
Adotarei a convenção de sinais em que força positiva é tração para a direita; como a carga distribuída empurra (gera compressão), N(x) ficará negativa. Podemos escrever, em módulo,
N(x)=-\int_{x}^{2a} w(s)\,ds,
onde o sinal menos mostra que a resultante das cargas sobre o segmento à direita tende a comprimir a seção.

Passo 3

Precisamos da expressão matemática de w(s) para s entre a e 2a. Como w decresce linearmente de w_{0} em s=a até 0 em s=2a, a inclinação é
\text{slope}=\frac{0-w_{0}}{2a-a}=-\frac{w_{0}}{a}.
A reta que passa por (a,w_{0}) com essa inclinação é
w(s)=w_{0}+\left(s-a\right)\left(-\frac{w_{0}}{a}\right)=w_{0}\!\left(1-\frac{s-a}{a}\right)=w_{0}\frac{2a-s}{a},
válida para a\le s\le 2a. (Aqui usei interpolação linear; cada termo está explicitado.)

Passo 4

Substituímos w(s) na integral para a resultante no trecho à direita da seção:
R(x)\equiv\int_{x}^{2a} w(s)\,ds=\int_{x}^{2a} w_{0}\frac{2a-s}{a}\,ds=\frac{w_{0}}{a}\int_{x}^{2a} (2a-s)\,ds.

Passo 5

Calculamos a integral passo a passo. A primitiva de 2a-s em relação a s é 2as-\dfrac{s^{2}}{2}. Portanto
\int_{x}^{2a} (2a-s)\,ds=\left[2as-\frac{s^{2}}{2}\right]_{s=x}^{s=2a} = \left(2a(2a)-\frac{(2a)^{2}}{2}\right)-\left(2ax-\frac{x^{2}}{2}\right).
Agora simplificamos os termos:
2a(2a)-\frac{(2a)^{2}}{2}=4a^{2}-2a^{2}=2a^{2},
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\int_{x}^{2a} (2a-s)\,ds=2a^{2}-2ax+\frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{w_{0}}{a} temos a resultante
R(x)=\frac{w_{0}}{a}\left(2a^{2}-2ax+\frac{x^{2}}{2}\right).

Passo 6

Vamos simplificar a expressão de R(x). Observe que
2a^{2}-2ax+\frac{x^{2}}{2}=\frac{1}{2}\left(4a^{2}-4ax+x^{2}\right)=\frac{1}{2}(2a-x)^{2}.
Portanto
R(x)=\frac{w_{0}}{a}\cdot\frac{1}{2}(2a-x)^{2}=\frac{w_{0}}{2a}(2a-x)^{2}.

Passo 7

Recordando que N(x)=-R(x) pela convenção adotada (a resultante das cargas comprime a seção), a tensão média é
\sigma_{\text{m}}(x)=\frac{N(x)}{A}=-\frac{R(x)}{A}=-\frac{1}{A}\cdot\frac{w_{0}}{2a}(2a-x)^{2}.
Portanto a expressão final, compacta e com interpretação física (tensão negativa = compressão), é
\sigma_{\text{m}}(x)=-\frac{w_{0}}{2aA}(2a-x)^{2}\quad\text{para }a<x\le 2a.
Como checagem: em x=2a obtemos \sigma_{\text{m}}(2a)=0 (nenhuma carga à direita), e em x=a obtemos \sigma_{\text{m}}(a)=-\dfrac{w_{0}a}{2A}, valores coerentes.

Resposta

\sigma_{\text{m}}(x)=-\frac{w_{0}}{2aA}(2a-x)^{2}\quad\text{para }a<x\le 2a

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