A barra prismática tem uma área da seção transversal
. Supondo que ela esteja submetida a uma carga axial distribuída que aumenta linearmente de
em
a
em
e depois decresce linearmente para
em
, determinar a tensão normal média na barra em função de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá uma barra prismática com área da seção transversal
. Sobre a barra atua uma carga axial distribuída
que varia linearmente assim:
em
, cresce até
em
e depois decresce linearmente até
em
. A pergunta é: determinar a tensão normal média na barra em função de
no intervalo
. Informações relevantes que temos:
,
,
,
, e queremos
para
.
Passo 2
Escolhemos um ponto de seção transversal localizado em
com
. Para obter a tensão média naquela seção usamos o princípio de equilíbrio: a força normal interna
na seção deve equilibrar o resultado das cargas distribuídas atuando no trecho à direita da seção (trecho
até
). A tensão média é a força normal dividida pela área, ou seja
Adotarei a convenção de sinais em que força positiva é tração para a direita; como a carga distribuída empurra (gera compressão),
ficará negativa. Podemos escrever, em módulo,
onde o sinal menos mostra que a resultante das cargas sobre o segmento à direita tende a comprimir a seção.
Passo 3
Precisamos da expressão matemática de
para
entre
e
. Como
decresce linearmente de
em
até
em
, a inclinação é
A reta que passa por
com essa inclinação é
válida para
. (Aqui usei interpolação linear; cada termo está explicitado.)
Passo 4
Substituímos
na integral para a resultante no trecho à direita da seção:
Passo 5
Calculamos a integral passo a passo. A primitiva de
em relação a
é
. Portanto
Agora simplificamos os termos:
logo
Multiplicando pelo fator
temos a resultante
Passo 6
Vamos simplificar a expressão de
. Observe que
Portanto
Passo 7
Recordando que
pela convenção adotada (a resultante das cargas comprime a seção), a tensão média é
Portanto a expressão final, compacta e com interpretação física (tensão negativa = compressão), é
Como checagem: em
obtemos
(nenhuma carga à direita), e em
obtemos
, valores coerentes.