3.2* Uma bomba, movendo-se com velocidade v_{0} exatamente horizontal e na direção norte, explode em dois fragmentos de massas iguais. Observa-se, logo após a explosāo, que um dos fragmentos se move verticalmente para cima com velocidade v_{\sigma} Qual é a velocidade do outro fragmento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: uma bomba move-se horizontalmente no sentido norte com velocidade v_{0} antes da explosão.
  • Informação: após a explosão a bomba divide-se em dois fragmentos de massas iguais.
  • Informação: logo após a explosão, um dos fragmentos move-se verticalmente para cima com velocidade v_{\sigma}.
  • Pergunta: qual é a velocidade (módulo da velocidade) do outro fragmento imediatamente após a explosão?

Passo 2

Vamos nomear variáveis e representar vetorialmente as direções para não nos perder:
  • Seja m a massa de cada fragmento (como as massas são iguais, a massa total antes da explosão era 2m).
  • Use \hat{n} como o versor (vetor unitário) na direção norte (direção da velocidade inicial).
  • Use \hat{z} como o versor na direção vertical para cima.
  • O momento linear inicial da bomba (antes da explosão) é o vetor \; \vec{P}_{\text{inicial}} = 2m\,v_{0}\,\hat{n}.
  • O momento do fragmento que sobe é \; \vec{p}_{1} = m\,v_{\sigma}\,\hat{z}.
  • O outro fragmento tem velocidade vetorial desconhecida \vec{v}_{2} e momento \vec{p}_{2}=m\,\vec{v}_{2}.
Aqui eu estou só organizando os dados e definindo símbolos; ainda não resolvi nada.

Passo 3

Princípio físico que usamos (explicação didática): em uma explosão, as forças internas entre fragmentos não alteram o momento linear total do sistema se desprezarmos forças externas durante o intervalo muito curto do evento. Ou seja, o momento linear total do sistema é conservado: a soma vetorial dos momentos dos fragmentos logo após a explosão é igual ao momento antes da explosão.
Isso significa que podemos escrever a equação de conservação do momento vetorial:
\vec{P}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}.
Vou aplicar isso com as quantidades que definimos.

Passo 4

Substituindo as expressões dos momentos na equação de conservação obtemos (mostrando todas as etapas):
2m\,v_{0}\,\hat{n}=m\,v_{\sigma}\,\hat{z}+m\,\vec{v}_{2}.
Podemos dividir ambos os lados por m (assumindo m\neq 0), pois aparece em todos os termos:
2\,v_{0}\,\hat{n}=v_{\sigma}\,\hat{z}+\vec{v}_{2}.

Passo 5

Isolando \vec{v}_{2} para obter a velocidade vetorial do outro fragmento:
\vec{v}_{2}=2\,v_{0}\,\hat{n}-v_{\sigma}\,\hat{z}.
Interpretação: o outro fragmento tem componente 2v_{0} na direção norte e componente -v_{\sigma} na direção vertical (ou seja, para baixo se usarmos sinal negativo; mas aqui o sinal só indica sentido relativo).

Passo 6

Agora precisamos do módulo (velocidade escalar) de \vec{v}_{2}. Como \hat{n} (norte) e \hat{z} (vertical para cima) são direções mutuamente perpendiculares, os componentes são ortogonais. O módulo de um vetor com componentes ortogonais é dado pelo teorema de Pitágoras aplicado aos componentes.
As componentes de \vec{v}_{2} são 2v_{0} (norte) e -v_{\sigma} (vertical). Então o módulo é
v_{2}=\bigl\lVert \vec{v}_{2}\bigr\rVert=\sqrt{(2v_{0})^{2}+(-v_{\sigma})^{2}}.
Como (-v_{\sigma})^{2}=v_{\sigma}^{2}, simplificamos para
v_{2}=\sqrt{4v_{0}^{2}+v_{\sigma}^{2}}.

Passo 7

Resumo do raciocínio prático para a prova (passo a passo curto que você pode repetir na hora):
  • Identifique direções e escreva momenta vetoriais.
  • Aplique conservação do momento vetorial e cancele massas iguais.
  • Isole a velocidade vetorial do fragmento procurado.
  • Como as direções são perpendiculares, calcule o módulo com Pitágoras.
Você consegue — respira fundo e lembra desse roteiro na prova!

Resposta

\displaystyle v_{2}=\sqrt{4v_{0}^{2}+v_{\sigma}^{2}}

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