3.2* Uma bomba, movendo-se com velocidade v_{0} exatamente horizontal e na direção norte, explode em dois fragmentos de massas iguais. Observa-se, logo após a explosāo, que um dos fragmentos se move verticalmente para cima com velocidade v_{\sigma} Qual é a velocidade do outro fragmento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
Informação: uma bomba move-se horizontalmente no sentido norte com velocidade v_{0} antes da explosão.
Informação: após a explosão a bomba divide-se em dois fragmentos de massas iguais.
Informação: logo após a explosão, um dos fragmentos move-se verticalmente para cima com velocidade v_{\sigma}.
Pergunta: qual é a velocidade (módulo da velocidade) do outro fragmento imediatamente após a explosão?
Passo 2
Vamos nomear variáveis e representar vetorialmente as direções para não nos perder:
Seja m a massa de cada fragmento (como as massas são iguais, a massa total antes da explosão era 2m).
Use \hat{n} como o versor (vetor unitário) na direção norte (direção da velocidade inicial).
Use \hat{z} como o versor na direção vertical para cima.
O momento linear inicial da bomba (antes da explosão) é o vetor \; \vec{P}_{\text{inicial}} = 2m\,v_{0}\,\hat{n}.
O momento do fragmento que sobe é \; \vec{p}_{1} = m\,v_{\sigma}\,\hat{z}.
O outro fragmento tem velocidade vetorial desconhecida \vec{v}_{2} e momento \vec{p}_{2}=m\,\vec{v}_{2}.
Aqui eu estou só organizando os dados e definindo símbolos; ainda não resolvi nada.
Passo 3
Princípio físico que usamos (explicação didática): em uma explosão, as forças internas entre fragmentos não alteram o momento linear total do sistema se desprezarmos forças externas durante o intervalo muito curto do evento. Ou seja, o momento linear total do sistema é conservado: a soma vetorial dos momentos dos fragmentos logo após a explosão é igual ao momento antes da explosão.
Isso significa que podemos escrever a equação de conservação do momento vetorial:
\vec{P}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}.
Vou aplicar isso com as quantidades que definimos.
Passo 4
Substituindo as expressões dos momentos na equação de conservação obtemos (mostrando todas as etapas):
Interpretação: o outro fragmento tem componente 2v_{0} na direção norte e componente -v_{\sigma} na direção vertical (ou seja, para baixo se usarmos sinal negativo; mas aqui o sinal só indica sentido relativo).
Passo 6
Agora precisamos do módulo (velocidade escalar) de \vec{v}_{2}. Como \hat{n} (norte) e \hat{z} (vertical para cima) são direções mutuamente perpendiculares, os componentes são ortogonais. O módulo de um vetor com componentes ortogonais é dado pelo teorema de Pitágoras aplicado aos componentes.
As componentes de \vec{v}_{2} são 2v_{0} (norte) e -v_{\sigma} (vertical). Então o módulo é