2.95 Sabendo que P=45 \mathrm{kN}, determine a tensão máxima quando r=16 \mathrm{mm}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Força axial: P=45\\ \mathrm{kN}.
  • Raio da seção circular: r=16\\ \mathrm{mm}.
O problema pede para determinar a tensão máxima (ou tensão normal) na seção quando o raio é r=16\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

A tensão normal média em uma seção transversal submetida a uma força axial P é dada por:
\sigma=\frac{P}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão (unidade típica: \mathrm{N/mm^{2}} ou \mathrm{MPa}),
  • P é a força axial (unidade: \mathrm{N}),
  • A é a área da seção transversal (unidade: \mathrm{mm^{2}} ou \mathrm{m^{2}}.
Tensão é “força por área”, então podemos memorizar \sigma=P/A.

Passo 3

A área da seção circular é calculada por:
A=\pi r^{2},
onde r é o raio da seção. Substituindo r=16\\ \mathrm{mm}:
A=\pi\cdot(16\\ \mathrm{mm})^{2}=\pi\cdot 256\\ \mathrm{mm^{2}}=256\pi\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 4

Convertendo a força para Newtons: P=45\\ \mathrm{kN}=45000\\ \mathrm{N}. Manter a área em \mathrm{mm^{2}} permite calcular \sigma diretamente em \mathrm{N/mm^{2}}, que é equivalente a \mathrm{MPa}.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula \sigma=P/A:
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{45000\\ \mathrm{N}}{256\pi\\ \mathrm{mm^{2}}}.
Simplificando numericamente:
\frac{45000}{256\pi}=\frac{45000}{256}\cdot\frac{1}{\pi}.
Calculando \frac{45000}{256}:
\frac{45000}{256}=175,78125.
Dividindo por \pi (aproximadamente 3,14159):
\sigma\approx\frac{175,78125}{3,14159}\approx55,96\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Convertendo para \mathrm{MPa}:
\sigma\approx55,96\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Para uma barra circular sob força axial, a tensão normal é uniforme na seção. Portanto, a tensão máxima coincide com o valor médio calculado. Podemos usar diretamente A=\pi r^{2} e calcular \sigma=P/(\pi r^{2}). Arredondando para 2 algarismos significativos, obtemos \sigma\approx56\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

55,96\\ \mathrm{MPa}

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