8.96 Uma caldeira de aço, de diâmetro interno
e espessura de parede
, é soldada através de uma costura de solda helicoidal que faz um ângulo
com o eixo axial (veja a Fig. P8.94). A caldeira está sujeita a uma pressão interna
. Determine:
(a) A tensão normal
perpendicular à solda e a tensão cisalhante
paralela à solda. Esquematize os resultados em um elemento apropriadamente orientado.
(b) A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
(a) A tensão normal
(b) A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre uma caldeira cilíndrica (parede fina) com solda helicoidal que faz um ângulo
com o eixo axial:
- (a) determinar a tensão normal
perpendicular à solda (isto é, tensão normal atuando numa seção cujo plano é perpendicular à direcção da solda) e a tensão cisalhante paralela à solda; esquematizar os resultados num elemento orientado (aqui vamos descrever o elemento e os sinais). - (b) determinar a tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Informações dadas (que vamos usar):
- pressão interna:
. - diâmetro interno:
(portanto o raio interno é ). - espessura da parede:
. - a solda faz um ângulo
com o eixo axial (ângulo medido entre a direcção da solda e a direcção axial).
Observação importante: a parede é considerada delgada (thin wall), então podemos usar as tensões médias de membrana (hoop e axial) no estado plano.
Passo 2
Primeiro passo físico: achar as tensões principais no cilindro devido à pressão interna (aula rápida sobre isso).
Conceito e fórmula:
- Em uma casca cilíndrica delgada sob pressão interna, existem duas tensões principais uniformes no espessura (membrana): a tensão circunferencial (hoop)
e a tensão axial (longitudinal) . - Essas tensões vêm de equilíbrio de forças: para uma tira de comprimento unitário, a pressão interna cria forças que devem ser equilibradas pela tensão na parede.
Derivação curta (razoável para prova):
- Para a tensão circumferencial (hoop): considere o equilíbrio de forças na direcção radial, cortando o cilindro por um plano axial e tomando comprimento unitário em
. A resultante da pressão = (força por unidade de comprimento axial); essa força é suportada por duas bordas da parede com espessura , cada uma com tensão . Equilíbrio dá
- Para a tensão axial (longitudinal): considere o equilíbrio cortando o cilindro por um plano transversal; a força da pressão sobre a seção circular é
, suportada pela circunferência com área (para espessura ). Fazendo as contas (ou usando o resultado clássico) obtemos
Portanto, as tensões principais (no plano da casca, eixos:
= axial,
= circumferencial) são:
e o cisalhamento na base desses eixos é
.
Passo 3
Agora precisamos das tensões num plano associado à solda helicoidal. Vamos entender a geometria do plano onde queremos as tensões.
Explicando ângulos e orientação:
- Tome o eixo
ao longo do eixo axial do cilindro. - Tome o eixo
na direcção circumferencial (hoop) ao longo da superfície. - A direcção da solda (linha sobre a superfície) faz um ângulo
com o eixo . Em coordenadas no plano tangente, um vetor ao longo da solda é . - A normal (no plano tangente) a essa linha (isto é, o vetor normal ao plano cuja face “atravessa” a solda) é
. O ângulo entre a normal e o eixo satisfaz , mas não precisamos usar explicitamente — basta usar as componentes.
Queremos:
-
: tensão normal na face cuja normal é perpendicular à solda (ou seja, normal ao comprimento da solda). -
: tensão de cisalhamento nessa face, medida ao longo da direcção da solda.
Passo 4
Aula curta sobre transformação de tensões (fórmula que vamos usar) — sem jargões difíceis.
Se no plano temos tensões
e
e
, a tensão normal
numa face cujo normal faz ângulo
com
é
e a tensão de cisalhamento nessa face (com sinal convencional) é
Essas fórmulas vêm da decomposição das componentes de tensão sobre um elemento rotacionado — é a transformação clássica de tensões em 2D. Aqui usamos
, por isso não aparece termo extra.
Para o nosso caso, como a normal à face é
, substituímos
e
. Como estamos interessados em quadrados e no produto
, obtemos:
Passo 5
Agora aplicamos as fórmulas com as tensões conhecidas
e
.
Cálculo da tensão normal perpendicular à solda
:
Substituindo:
Fatorando
:
já que
.
Cálculo da tensão cisalhante paralela à solda
:
Tomando o valor absoluto do sentido (ou escolhendo o sinal convencional), podemos escrever o módulo como
Substituindo
obtemos
(Use
se preferir.)
Passo 6
Esquematização do elemento (descrição, já que não dá para desenhar aqui):
- Considere um pequeno elemento retangular na parede, com uma face cuja normal é perpendicular à solda. Nessa face:
- age uma tensão normal
de tração, dada por , - age uma tensão de cisalhamento
ao longo da direção da solda, dada por (ou ).
- age uma tensão normal
- Na face oposta, aparecem as mesmas tensões com sinais opostos para manter equilíbrio.
Observação física e de prova: isso significa que a solda, inclinada, é submetida tanto a um esforço normal (tensão de tração) quanto a um cisalhamento — ambos dependem de
. Para
(solda axial),
e
. Para
(solda circunferencial),
e
. Para ângulos intermediários há cisalhamento.
Passo 7
Parte (b): achar a tensão cisalhante máxima absoluta na caldeira (isto é, o maior valor de cisalhamento que aparece em qualquer plano).
Teoria rápida (2D): para um estado de tensão plano com duas tensões principais
e
(aqui
e
), a máxima tensão de cisalhamento em plano (valor máximo absoluto de cisalhamento para qualquer orientação de plano) é
No nosso caso
e
, portanto
Comentário: isso coincide com o valor máximo de
que obtemos para a solda quando
(ou seja,
), pois
tem máximo
. Assim a maior cisalhante em qualquer plano do material é
.
Resposta
(a)
.\n
(b) .
(b)