8.96 Uma caldeira de aço, de diâmetro interno d e espessura de parede t, é soldada através de uma costura de solda helicoidal que faz um ângulo \varphi com o eixo axial (veja a Fig. P8.94). A caldeira está sujeita a uma pressão interna p. Determine:
(a) A tensão normal \sigma_{s} perpendicular à solda e a tensão cisalhante \tau_{s} paralela à solda. Esquematize os resultados em um elemento apropriadamente orientado.
(b) A tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre uma caldeira cilíndrica (parede fina) com solda helicoidal que faz um ângulo \varphi com o eixo axial:
  • (a) determinar a tensão normal \sigma_{s} perpendicular à solda (isto é, tensão normal atuando numa seção cujo plano é perpendicular à direcção da solda) e a tensão cisalhante \tau_{s} paralela à solda; esquematizar os resultados num elemento orientado (aqui vamos descrever o elemento e os sinais).
  • (b) determinar a tensão cisalhante máxima absoluta atuante na caldeira.
Informações dadas (que vamos usar):
  • pressão interna: \;p.
  • diâmetro interno: \;d (portanto o raio interno é \;r=d/2).
  • espessura da parede: \;t.
  • a solda faz um ângulo \;\varphi com o eixo axial (ângulo medido entre a direcção da solda e a direcção axial).
Observação importante: a parede é considerada delgada (thin wall), então podemos usar as tensões médias de membrana (hoop e axial) no estado plano.

Passo 2

Primeiro passo físico: achar as tensões principais no cilindro devido à pressão interna (aula rápida sobre isso).
Conceito e fórmula:
  • Em uma casca cilíndrica delgada sob pressão interna, existem duas tensões principais uniformes no espessura (membrana): a tensão circunferencial (hoop) \sigma_\theta e a tensão axial (longitudinal) \sigma_x.
  • Essas tensões vêm de equilíbrio de forças: para uma tira de comprimento unitário, a pressão interna cria forças que devem ser equilibradas pela tensão na parede.
Derivação curta (razoável para prova):
  • Para a tensão circumferencial (hoop): considere o equilíbrio de forças na direcção radial, cortando o cilindro por um plano axial e tomando comprimento unitário em x. A resultante da pressão = p\cdot d\cdot 1 (força por unidade de comprimento axial); essa força é suportada por duas bordas da parede com espessura t, cada uma com tensão \sigma_\theta. Equilíbrio dá
\sigma_\theta\, t \cdot 2 = p\, d \quad\Rightarrow\quad \sigma_\theta=\frac{p\,d}{2t}.
  • Para a tensão axial (longitudinal): considere o equilíbrio cortando o cilindro por um plano transversal; a força da pressão sobre a seção circular é p\cdot \pi (d/2)^2, suportada pela circunferência com área \pi d\, t (para espessura t). Fazendo as contas (ou usando o resultado clássico) obtemos
\sigma_x=\frac{p\,d}{4t}.
Portanto, as tensões principais (no plano da casca, eixos: x = axial, y = circumferencial) são:
\sigma_x=\frac{p\,d}{4t},\qquad \sigma_y=\frac{p\,d}{2t},
e o cisalhamento na base desses eixos é \tau_{xy}=0.

Passo 3

Agora precisamos das tensões num plano associado à solda helicoidal. Vamos entender a geometria do plano onde queremos as tensões.
Explicando ângulos e orientação:
  • Tome o eixo x ao longo do eixo axial do cilindro.
  • Tome o eixo y na direcção circumferencial (hoop) ao longo da superfície.
  • A direcção da solda (linha sobre a superfície) faz um ângulo \varphi com o eixo x. Em coordenadas no plano tangente, um vetor ao longo da solda é (\cos\varphi,\;\sin\varphi).
  • A normal (no plano tangente) a essa linha (isto é, o vetor normal ao plano cuja face “atravessa” a solda) é (-\sin\varphi,\;\cos\varphi). O ângulo \theta entre a normal e o eixo x satisfaz \theta=\varphi+90^\circ, mas não precisamos usar \theta explicitamente — basta usar as componentes.
Queremos:
  • \sigma_s: tensão normal na face cuja normal é perpendicular à solda (ou seja, normal ao comprimento da solda).
  • \tau_s: tensão de cisalhamento nessa face, medida ao longo da direcção da solda.

Passo 4

Aula curta sobre transformação de tensões (fórmula que vamos usar) — sem jargões difíceis.
Se no plano temos tensões \sigma_x e \sigma_y e \tau_{xy}=0, a tensão normal \sigma_n numa face cujo normal faz ângulo \theta com x é
\sigma_n=\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta,
e a tensão de cisalhamento nessa face (com sinal convencional) é
\tau_n=(\sigma_x-\sigma_y)\sin\theta\cos\theta.
Essas fórmulas vêm da decomposição das componentes de tensão sobre um elemento rotacionado — é a transformação clássica de tensões em 2D. Aqui usamos \tau_{xy}=0, por isso não aparece termo extra.
Para o nosso caso, como a normal à face é \theta=\varphi+90^\circ, substituímos \cos\theta=-\sin\varphi e \sin\theta=\cos\varphi. Como estamos interessados em quadrados e no produto \sin\theta\cos\theta, obtemos:
\cos^2\theta=\sin^2\varphi,\qquad \sin^2\theta=\cos^2\varphi,\qquad \sin\theta\cos\theta=-\sin\varphi\cos\varphi.

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas com as tensões conhecidas \sigma_x=\dfrac{p d}{4t} e \sigma_y=\dfrac{p d}{2t}.
Cálculo da tensão normal perpendicular à solda \sigma_s:
\sigma_s=\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta =\sigma_x\sin^2\varphi+\sigma_y\cos^2\varphi.
Substituindo:
\sigma_s=\frac{p d}{4t}\sin^2\varphi+\frac{p d}{2t}\cos^2\varphi.
Fatorando \dfrac{p d}{4t}:
\sigma_s=\frac{p d}{4t}\bigl(\sin^2\varphi+2\cos^2\varphi\bigr) =\frac{p d}{4t}\bigl(1+\cos^2\varphi\bigr),
já que \sin^2\varphi+2\cos^2\varphi=(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)+\cos^2\varphi=1+\cos^2\varphi.
Cálculo da tensão cisalhante paralela à solda \tau_s:
\tau_s=(\sigma_x-\sigma_y)\sin\theta\cos\theta =(\sigma_x-\sigma_y)(-\sin\varphi\cos\varphi).
Tomando o valor absoluto do sentido (ou escolhendo o sinal convencional), podemos escrever o módulo como
\tau_s=|\sigma_y-\sigma_x|\sin\varphi\cos\varphi.
Substituindo \sigma_y-\sigma_x=\dfrac{p d}{2t}-\dfrac{p d}{4t}=\dfrac{p d}{4t} obtemos
\tau_s=\frac{p d}{4t}\sin\varphi\cos\varphi =\frac{p d}{8t}\sin 2\varphi.
(Use \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi se preferir.)

Passo 6

Esquematização do elemento (descrição, já que não dá para desenhar aqui):
  • Considere um pequeno elemento retangular na parede, com uma face cuja normal é perpendicular à solda. Nessa face:
    • age uma tensão normal \sigma_s de tração, dada por \displaystyle \sigma_s=\frac{p d}{4t}\bigl(1+\cos^2\varphi\bigr),
    • age uma tensão de cisalhamento \tau_s ao longo da direção da solda, dada por \displaystyle \tau_s=\frac{p d}{4t}\sin\varphi\cos\varphi (ou \dfrac{p d}{8t}\sin 2\varphi).
  • Na face oposta, aparecem as mesmas tensões com sinais opostos para manter equilíbrio.
Observação física e de prova: isso significa que a solda, inclinada, é submetida tanto a um esforço normal (tensão de tração) quanto a um cisalhamento — ambos dependem de \varphi. Para \varphi=0^\circ (solda axial), \sigma_s=\dfrac{p d}{2t} e \tau_s=0. Para \varphi=90^\circ (solda circunferencial), \sigma_s=\dfrac{p d}{4t} e \tau_s=0. Para ângulos intermediários há cisalhamento.

Passo 7

Parte (b): achar a tensão cisalhante máxima absoluta na caldeira (isto é, o maior valor de cisalhamento que aparece em qualquer plano).
Teoria rápida (2D): para um estado de tensão plano com duas tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 (aqui \sigma_y e \sigma_x), a máxima tensão de cisalhamento em plano (valor máximo absoluto de cisalhamento para qualquer orientação de plano) é
\tau_{\max}=\frac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2}.
No nosso caso \sigma_1=\sigma_y=\dfrac{p d}{2t} e \sigma_2=\sigma_x=\dfrac{p d}{4t}, portanto
\tau_{\max}=\frac{1}{2}\left(\frac{p d}{2t}-\frac{p d}{4t}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{p d}{4t} =\frac{p d}{8t}.
Comentário: isso coincide com o valor máximo de \tau_s que obtemos para a solda quando \sin 2\varphi=1 (ou seja, \varphi=45^\circ), pois \tau_s=\dfrac{p d}{8t}\sin 2\varphi tem máximo \dfrac{p d}{8t}. Assim a maior cisalhante em qualquer plano do material é \dfrac{p d}{8t}.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma_{s}=\frac{p d}{4t}\bigl(1+\cos^2\varphi\bigr),\qquad \tau_{s}=\frac{p d}{4t}\sin\varphi\cos\varphi=\frac{p d}{8t}\sin2\varphi.\n
(b) \displaystyle \tau_{\max}=\frac{p d}{8t}.

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