Fazer; Uma liga de aluminio 6061-T6 ( \sigma \mathrm{E}=37 \mathrm{ksi} ) deve ser usada em um eixo de acionamento para qu transmita 40 \mathrm{hp}(1 \mathrm{hp}=550 \mathrm{ft} . \mathrm{lb} / \mathrm{s}) à 2.400 \mathrm{rev} / \mathrm{min}.Usando um fator de segurança F.S. =2, em relação ao escoa-
mento, determine o menor diâmetro do eixo com base na teoria da energia de distorção máxima.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor diâmetro de um eixo sólido de alumínio 6061-T6 (com resistência à escoamento \sigma_E=37\\ \mathrm{ksi}) que deve transmitir 40\\ \mathrm{hp} a 2400\\ \mathrm{rev/min}, usando um fator de segurança F.S.=2, tomando como critério de falha a teoria da energia de distorção máxima (Teoria de von Mises).\n
Informações dadas e úteis:
\begin{aligned} &\text{Potência: } P = 40\\ \mathrm{hp} \quad(1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lb/s})\\\ &\text{Velocidade: } N = 2400\\ \mathrm{rev/min}\\\ &\text{Resistência ao escoamento: } \sigma_E = 37\\ \mathrm{ksi}\\\ &\text{Fator de segurança: } F.S. = 2\\\ &\text{Queremos: menor diâmetro } d \text{ do eixo sólido (unidade em polegadas).} \end{aligned}êêçâó

Passo 2

Converter a potência para unidades mecânicas compatíveis e calcular o torque transmissível. Primeiro, potência em \mathrm{ft\cdot lb/s}:
P = 40\times 550 = 22000\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}.
Vou trabalhar em unidades polares com torque em \mathrm{in\cdot lb}, então converto potência para \mathrm{in\cdot lb/s}:
P = 22000\times 12 = 264000\\ \mathrm{in\cdot lb/s}.

Passo 3

Calcular a velocidade angular \omega em rad/s a partir de N=2400\\ \mathrm{rev/min}:
\omega = 2\pi\frac{N}{60} = 2\pi\frac{2400}{60} = 80\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 251,327\\ \mathrm{rad/s}.
O torque médio T é dado por P = T\omega, então
T = \frac{P}{\omega} = \frac{264000}{80\pi}\\ \mathrm{in\cdot lb}.
Calculo numérico:
T \approx \frac{264000}{251{,}327} \approx 1050{,}95\\ \mathrm{in\cdot lb}.

Passo 4

Entender a teoria de falha pedida (energia de distorção / von Mises) e como ela se aplica a um eixo em torção pura.\n
A teoria de von Mises diz que a tensão equivalente (que compara com o limite de escoamento) é, para um estado de cisalhamento puro, dada por
\sigma_\mathrm{vm}=\sqrt{3}\,\tau,
onde \tau é a tensão de cisalhamento máxima no eixo. Portanto, para não ocorrer escoamento com fator de segurança F.S., devemos ter
\sigma_\mathrm{vm,max} \le \frac{\sigma_E}{F.S.}
ou seja
\sqrt{3}\,\tau_\text{allow} \le \frac{\sigma_E}{F.S.}\quad\Rightarrow\quad \tau_\text{allow} = \frac{\sigma_E}{F.S.\,\sqrt{3}}.
Aqui \sigma_E está em \mathrm{psi} (ou \mathrm{ksi}), então \tau_\text{allow} ficará em mesma unidade.

Passo 5

Calcular \tau_\text{allow} numericamente. Como \sigma_E=37\\ \mathrm{ksi}=37000\\ \mathrm{psi} e F.S.=2,
\frac{\sigma_E}{F.S.} = \frac{37000}{2} = 18500\\ \mathrm{psi}.
Logo
\tau_\text{allow}=\frac{18500}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{psi} \approx \frac{18500}{1{,}73205}\\ \mathrm{psi} \approx 10679{,}9\\ \mathrm{psi}.
Em \mathrm{ksi}, isso é \approx 10{,}6799\\ \mathrm{ksi}.

Passo 6

Relembrar a fórmula da tensão de cisalhamento máxima num eixo circular sólido submetido a torque T. A partir de \tau_\text{max}=\dfrac{T\,c}{J}, com c=\dfrac{d}{2} e J=\dfrac{\pi d^4}{32}, obtemos a forma conhecida:
\tau_\text{max}=\frac{16\,T}{\pi\,d^3}.
Explicando rápido: J é o momento polar de inércia da seção circular, c é o raio; combinar as fórmulas dá essa expressão prática que relaciona \tau_\text{max}, torque T e diâmetro d.

Passo 7

Impor a condição de segurança: \tau_\text{max}\le \tau_\text{allow}. Substituindo,
\frac{16T}{\pi d^3} \le \tau_\text{allow} \quad\Rightarrow\quad d^3 \ge \frac{16T}{\pi\,\tau_\text{allow}}.
Assim o menor diâmetro admissível é
d_\text{min} = \left(\frac{16T}{\pi\,\tau_\text{allow}}\right)^{1/3}.

Passo 8

Substituir numericamente os valores (usar T em \mathrm{in\cdot lb} e \tau_\text{allow} em \mathrm{psi}):
\begin{aligned} T &\approx 1050{,}95\\ \mathrm{in\cdot lb},\\[4pt] \tau_\text{allow} &\approx 10679{,}9\\ \mathrm{psi}. \end{aligned}
Calcular o quociente:
d^3 = \frac{16\times 1050{,}95}{\pi\times 10679{,}9} \approx \frac{16815{,}2}{33545{,}5} \approx 0{,}5012\\ \mathrm{in^3}.
Tomando a raiz cúbica:
d_\text{min} \approx 0{,}79398\\ \mathrm{in}.]

Passo 9

Converter para milímetros (opcional, para familiaridade):
d_\text{min}\approx 0{,}79398\times 25{,}4 \approx 20{,}16\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático: na prática escolhe-se um diâmetro comercial padronizado maior que d_\text{min} (por exemplo 13/16''=0{,}8125\\ \mathrm{in} seria uma escolha segura).

Resposta

d_\text{min}=0,794\\ \mathrm{in} (= 20,16\\ \mathrm{mm})

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