O eixo de aço A-36 gira a \omega=125 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e transmite a potência mostrada. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e o ângulo de torção de C em relação a F. Os diâmetros interno e externo do eixo são d_{i}=30 \mathrm{~mm} e d_{o}=40 \mathrm{~mm}. Os mancais de apoio em B e G são lisos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo; (2) determinar o ângulo de torção de C em relação a F.
As informações explicitamente dadas no enunciado são:
\omega=125\\ \mathrm{rad/s},
d_i=30\\ \mathrm{mm},
d_o=40\\ \mathrm{mm},
o material é aço A-36 e os mancais em B e G são lisos.
Observação importante: o enunciado menciona que o eixo “transmite a potência mostrada” e refere-se a pontos/forças/trechos ( C, F, possivelmente torques e comprimentos) que só podem ser conhecidos pela figura do enunciado. A figura (ou a indicação numérica da potência transmitida e das distâncias entre C e F, e quaisquer torques aplicados) não foi enviada. Portanto não temos o valor da potência nem os comprimentos/posições necessários para obter os valores numéricos finais pedidos.

Passo 2

Como procederíamos para encontrar o torque a partir da potência rotacional: a relação fundamental entre potência, torque e velocidade angular é
P = T\,\omega,
onde P é a potência (em \mathrm{W}), T é o torque (em \mathrm{N\cdot m}) e \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}). Rearranjando:
T=\frac{P}{\omega}.
Explicando: potência é a taxa de trabalho, e num eixo girante o trabalho por segundo é o torque multiplicado pela velocidade angular. Logo, para obter o torque que o eixo está transmitindo precisamos do valor da potência P mostrado na figura (ou dado numericamente). Sem esse P não podemos calcular T numericamente.

Passo 3

Fórmula da tensão de cisalhamento devido a torção em eixo circular (oco): para uma seção circular oca submetida a um torque T,
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde \tau(r) é a tensão de cisalhamento em um ponto a distância radial r do centro, e J é o momento polar de inércia da seção transversal. A tensão máxima ocorre na superfície externa, com r=c sendo o raio externo, portanto
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Para um eixo circular oco de diâmetros d_o e d_i,
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right),
onde d_o e d_i devem estar na mesma unidade (por ex. metros). Aqui c=\dfrac{d_o}{2}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas aos dados geométricos fornecidos (ainda sem P):
Calculemos J com d_o=40\\ \mathrm{mm} e d_i=30\\ \mathrm{mm}. Primeiro computamos d_o^4-d_i^4 em \mathrm{mm}^4:
40^4-30^4=2\,560\,000-810\,000=1\,750\,000\\ \mathrm{mm}^4.
Logo
J=\frac{\pi}{32}\cdot 1\,750\,000\\ \mathrm{mm}^4=\frac{\pi\cdot 1\,750\,000}{32}\\ \mathrm{mm}^4\approx 1{,}71699\times10^{5}\\ \mathrm{mm}^4.
Convertendo para \mathrm{m}^4 (já que as unidades de T e P normalmente estão em N·m e W):
J\approx 1{,}71699\times10^{5}\\ \mathrm{mm}^4 = 1{,}71699\times10^{5}\times 10^{-12}\\ \mathrm{m}^4 = 1{,}71699\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4.
O raio externo é
c=\frac{d_o}{2}=\frac{40\\ \mathrm{mm}}{2}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Expressão direta para \tau_{\max} em termos de P e \omega: substituindo T=P/\omega em \tau_{\max}=T c/J, obtemos
\tau_{\max}=\frac{P}{\omega}\cdot\frac{c}{J}=\frac{P\,c}{\omega\,J}.
Isto é prático: quando soubermos P (da figura), basta substituir P em \mathrm{W}, \omega=125\\ \mathrm{rad/s}, c=0{,}02\\ \mathrm{m} e J\approx 1{,}71699\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4 para obter \tau_{\max} em pascal (Pa). Para converter em \mathrm{MPa}, dividir o resultado por 10^6.

Passo 6

Fórmula para o ângulo de torção entre dois pontos: para um segmento uniforme de eixo submetido a torque T,
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde L é o comprimento do trecho entre os dois pontos (aqui entre C e F), G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material e J o momento polar já calculado. Substituindo T=P/\omega temos
\theta=\frac{P\,L}{\omega\,G\,J}.
Explicando as variáveis: \theta em radianos, P em W, L em metros, \omega em rad/s, G em Pa e J em \mathrm{m}^4. Para o aço A-36 podemos usar E\approx 200\\ \mathrm{GPa} e \nu\approx 0{,}3, daí
G=\frac{E}{2(1+\nu)}\approx\frac{200\times10^{9}}{2(1{,}3)}\\ \mathrm{Pa}\approx 76{,}9\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
(Arredondamos normalmente para G\approx 77\\ \mathrm{GPa}.) Assim, para calcular numericamente \theta precisamos do valor de P e do comprimento L entre C e F — ambas informações vêm da figura ou do enunciado completo.

Passo 7

Resumo do procedimento numérico que você deve aplicar assim que tiver a figura (ou os valores que faltam):
  1. Ler o valor da potência P mostrado na figura (em W).
  2. Calcular o torque:
T=\frac{P}{\omega}=\frac{P}{125}.
  1. Calcular \tau_{\max} por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}=\frac{P\,c}{\omega\,J},
usando c=0{,}02\\ \mathrm{m} e J\approx 1{,}71699\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4. Converter o resultado para \mathrm{MPa} se quiser.
4. Ler o comprimento L entre C e F na figura. Usar G\approx 77\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e calcular
\theta=\frac{P\,L}{\omega\,G\,J}.
  1. Se quiser \theta em graus, converta por \theta_\mathrm{deg}=\theta_\mathrm{rad}\times\frac{180^\circ}{\pi}.

Passo 8

Observações finais e incentivo: eu sei que é chato quando falta a figura no enunciado — mas o bom é que agora você já tem o roteiro completo para resolver rapidinho assim que pegar a figura: encontre P e L, ponha nos passos 2–4 acima e calcula. Se quiser, me envie apenas os valores numéricos de P (potência) e de L (distância entre C e F) — sem precisar reenviar a figura inteira — que eu já monto os cálculos com números e te dou \tau_{\max} em \mathrm{MPa} e \theta em rad ou graus, passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \tau_{\max} e \theta_{C\!F} porque a figura com o valor da potência transmitida P e a distância entre C e F (comprimento L) não foi enviada; seguem as fórmulas a usar quando esses valores forem conhecidos:
\tau_{\max}=\frac{P\,c}{\omega\,J},\qquad \theta_{C\!F}=\frac{P\,L}{\omega\,G\,J},
com c=0{,}02\\ \mathrm{m}, J\approx 1{,}71699\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^4, \omega=125\\ \mathrm{rad/s} e G\approx 77\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.

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