9.97 Um refletor para rastreamento por radar tem duas faces formadas por quartos de círculo de 375 mm de raio, sendo a terceira face um triângulo. O refletor é feito de chapa de alumínio de espessura uniforme e igual a 1,25 \mathrm{~mm}. Sabendo que a massa específica do aluminio é 2,72 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, determine o momento de inércia do refletor, em relação a cada eixo coordenado.

Passo 1

Resumo do enunciado: o refletor é formado por três chapas metálicas finas (espessura t=1,25 mm) que se encontram ortogonalmente num vértice. Duas faces são setores circulares de quarto de disco de raio R=375 mm e a terceira é um triângulo retângulo de catetos L=225 mm. Queremos o tensor de inércia (os três momentos principais) em relação aos eixos que passam pelo vértice e coincidem com as arestas comuns às faces. A massa específica do alumínio é \rho=2,72\times10^3 kg/ m^{3}. Vamos:
1. Calcular as massas de cada face (área \times t\,\rho).
2. Usar fórmulas de momento de inércia para lâminas finas:
  • quarto de disco em torno de eixos no vértice.
  • triângulo retângulo em torno de eixos no vértice.
    3. Somar as contribuições de cada face para I_x, I_y e I_z.

Passo 2

Massa das faces circulares (idênticas):
A_{\rm q}=\frac{\pi R^2}{4},\quad m_{\rm q}=A_{\rm q}\,t\,\rho =\frac{\pi R^2}{4}\;t\;\rho.
Massa da face triangular:
A_{\rm t}=\frac{L^2}{2},\quad m_{\rm t}=A_{\rm t}\,t\,\rho =\frac{L^2}{2}\;t\;\rho.

Passo 3

Momentos de inércia do quarto de disco de massa m_{\rm q} e raio R, com vértice na origem:
– Eixo perpendicular ao plano da lâmina (vai coincidir com um dos eixos coordenados):
\;I_{\perp} =m_{\rm q}\,\frac{R^2}{2}.
– Eixos no plano, ao longo de cada cateto:
\;I_{\rm in\text{-}plane} =m_{\rm q}\,\frac{R^2}{4}.

Passo 4

Momentos de inércia do triângulo retângulo de massa m_{\rm t} e catetos L, com vértice na origem:
– Eixo perpendicular ao plano do triângulo:
\;I_{\perp}=m_{\rm t}\,\frac{L^2}{3}.
– Eixos no plano, um ao longo de um cateto (altura L) e outro ao longo do outro:
\;I_{\rm cateto} =m_{\rm t}\,\frac{L^2}{6}.

Passo 5

Montagem das contribuições (cada face em seu plano):
x-eixo:
– quarto em yz-plano \to I_x^{(1)}=m_{\rm q}\,\tfrac{R^2}{2}
– quarto em xy-plano \to I_x^{(2)}=m_{\rm q}\,\tfrac{R^2}{4}
– triângulo em xz-plano \to I_x^{(3)}=m_{\rm t}\,\tfrac{L^2}{6}
Logo
I_x =m_{\rm q}\Bigl(\tfrac{R^2}{2}+\tfrac{R^2}{4}\Bigr) +m_{\rm t}\,\tfrac{L^2}{6}.
y-eixo:
– quarto em yz-plano \to I_y^{(1)}=m_{\rm q}\,\tfrac{R^2}{4}
– quarto em xy-plano \to I_y^{(2)}=m_{\rm q}\,\tfrac{R^2}{4}
– triângulo em xz-plano \to I_y^{(3)}=m_{\rm t}\,\tfrac{L^2}{3}
I_y =2\,m_{\rm q}\,\tfrac{R^2}{4} +m_{\rm t}\,\tfrac{L^2}{3}.
z-eixo:
– quarto em yz-plano \to I_z^{(1)}=m_{\rm q}\,\tfrac{R^2}{4}
– quarto em xy-plano \to I_z^{(2)}=m_{\rm q}\,\tfrac{R^2}{2}
– triângulo em xz-plano \to I_z^{(3)}=m_{\rm t}\,\tfrac{L^2}{6}
I_z =m_{\rm q}\Bigl(\tfrac{R^2}{4}+\tfrac{R^2}{2}\Bigr) +m_{\rm t}\,\tfrac{L^2}{6}.

Passo 6

Valores numéricos ( R=0,375 m, L=0,225 m, t=1{,}25\times10^{-3} m, \rho=2{,}72\times10^3 kg/ m^{3}):
m_{\rm q}\approx0{,}376\\ {\rm kg},\quad m_{\rm t}\approx0{,}0860\\ {\rm kg}.
I_x=I_z\approx4{,}03\times10^{-2}\\ {\rm kg\cdot m^2}, \qquad I_y\approx2{,}78\times10^{-2}\\ {\rm kg\cdot m^2}.

Resposta

I_x = 4{,}03\times10^{-2}\,\mathrm{kg\cdot m^2},\quad I_y = 2{,}78\times10^{-2}\,\mathrm{kg\cdot m^2},\quad I_z = 4{,}03\times10^{-2}\,\mathrm{kg\cdot m^2}.

Exercícios relacionados