9.97 Um refletor para rastreamento por radar tem duas faces formadas por quartos de círculo de 375 mm de raio, sendo a terceira face um triângulo. O refletor é feito de chapa de alumínio de espessura uniforme e igual a
. Sabendo que a massa específica do aluminio é
, determine o momento de inércia do refletor, em relação a cada eixo coordenado.
Passo 1
Resumo do enunciado: o refletor é formado por três chapas metálicas finas (espessura
mm) que se encontram ortogonalmente num vértice. Duas faces são setores circulares de quarto de disco de raio
mm e a terceira é um triângulo retângulo de catetos
mm. Queremos o tensor de inércia (os três momentos principais) em relação aos eixos que passam pelo vértice e coincidem com as arestas comuns às faces. A massa específica do alumínio é
kg/
. Vamos:
. Calcular as massas de cada face (área
).
. Usar fórmulas de momento de inércia para lâminas finas:
- quarto de disco em torno de eixos no vértice.
- triângulo retângulo em torno de eixos no vértice.
. Somar as contribuições de cada face para , e .
Passo 2
Massa das faces circulares (idênticas):
Massa da face triangular:
Passo 3
Momentos de inércia do quarto de disco de massa
e raio
, com vértice na origem:
– Eixo perpendicular ao plano da lâmina (vai coincidir com um dos eixos coordenados):
– Eixo perpendicular ao plano da lâmina (vai coincidir com um dos eixos coordenados):
– Eixos no plano, ao longo de cada cateto:
Passo 4
Momentos de inércia do triângulo retângulo de massa
e catetos
, com vértice na origem:
– Eixo perpendicular ao plano do triângulo:
– Eixo perpendicular ao plano do triângulo:
– Eixos no plano, um ao longo de um cateto (altura
) e outro ao longo do outro:
Passo 5
Montagem das contribuições (cada face em seu plano):
-eixo:
– quarto em -plano
– quarto em -plano
– triângulo em -plano
Logo
– quarto em
– quarto em
– triângulo em
Logo
– quarto em
– quarto em
– triângulo em
– quarto em
– quarto em
– triângulo em
Passo 6
Valores numéricos (
m,
m,
m,
kg/
):