9.97 Um refletor para rastreamento por radar tem duas faces formadas por quartos de círculo de 375 mm de raio, sendo a terceira face um triângulo. O refletor é feito de chapa de alumínio de espessura uniforme e igual a
. Sabendo que a massa específica do aluminio é
, determine o momento de inércia do refletor, em relação a cada eixo coordenado.
Passo 1
O enunciado descreve um refletor formado por três chapas planas de alumínio de espessura uniforme
mm e massa específica
kg/
. Duas dessas chapas são setores de quarto de círculo de raio
mm dispostas nos planos
(setor A) e
(setor B), e a terceira é um triângulo retângulo de vértices em
,
e
disposto no plano
(chap C). Precisamos calcular os momentos de inércia totais em relação aos eixos
,
e
que passam pela origem.
Passo 2
Primeiro convertemos para metros e determinamos a massa por unidade de área da chapa:
Em cada chapa plana, o momento de inércia em relação a um eixo
é
Passo 3
Setor A (plano
, quarto de disco de raio
).
Massa
Massa
Usando coordenadas polares
, tem-se
Passo 4
Setor B (plano
, quarto de disco de raio
). Pela simetria trocamos os papéis de
e
:
Passo 5
Chapa C (plano
, triângulo retângulo de catetos de comprimento
).
Massa
Massa
Calcula-se pelo duplo integral em coordenadas cartesianas
Passo 6
Somamos as contribuições de A, B e C:
Substituindo
e
m: