9.97 Um refletor para rastreamento por radar tem duas faces formadas por quartos de círculo de 375 mm de raio, sendo a terceira face um triângulo. O refletor é feito de chapa de alumínio de espessura uniforme e igual a 1,25 \mathrm{~mm}. Sabendo que a massa específica do aluminio é 2,72 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, determine o momento de inércia do refletor, em relação a cada eixo coordenado.

Passo 1

O enunciado descreve um refletor formado por três chapas planas de alumínio de espessura uniforme t=1,25 mm e massa específica \rho=2{,}72\times10^3 kg/ m^{3}. Duas dessas chapas são setores de quarto de círculo de raio R=375 mm dispostas nos planos x=0 (setor A) e y=0 (setor B), e a terceira é um triângulo retângulo de vértices em (0,0,0), (R,0,0) e (0,R,0) disposto no plano z=0 (chap C). Precisamos calcular os momentos de inércia totais em relação aos eixos x, y e z que passam pela origem.

Passo 2

Primeiro convertemos para metros e determinamos a massa por unidade de área da chapa:
R=0{,}375\\ \mathrm m,\quad t=0{,}00125\\ \mathrm m,\quad \sigma=\rho\,t=2{,}72\times10^3\cdot0{,}00125=3{,}4\\ \mathrm{kg/m^2}.
Em cada chapa plana, o momento de inércia em relação a um eixo i é
I_i=\int_{\text{área}}r_i^2\,\mathrm dm \quad\text{com}\quad\mathrm dm=\sigma\,\mathrm dA.á

Passo 3

Setor A (plano x=0, quarto de disco de raio R).
Massa
m_A=\sigma\,\frac{\pi R^2}{4}.
Usando coordenadas polares (y=r\cos\theta,\;z=r\sin\theta), tem-se
I_{x,A} =\sigma\iint_{A}(y^2+z^2)\,\mathrm dA =\sigma\frac{\pi R^4}{8},
I_{y,A} =\sigma\iint_{A}z^2\,\mathrm dA =\sigma\frac{\pi R^4}{16}, \quad I_{z,A} =\sigma\iint_{A}y^2\,\mathrm dA =\sigma\frac{\pi R^4}{16}.

Passo 4

Setor B (plano y=0, quarto de disco de raio R). Pela simetria trocamos os papéis de x e y:
I_{y,B} =\sigma\frac{\pi R^4}{8}, \quad I_{x,B}=I_{z,B} =\sigma\frac{\pi R^4}{16}.

Passo 5

Chapa C (plano z=0, triângulo retângulo de catetos de comprimento R).
Massa
m_C=\sigma\frac{R^2}{2}.
Calcula-se pelo duplo integral em coordenadas cartesianas
I_{z,C} =\sigma\iint(x^2+y^2)\,\mathrm dA =\sigma\frac{R^4}{6},
I_{x,C} =\sigma\iint y^2\,\mathrm dA =\sigma\frac{R^4}{12}, \quad I_{y,C} =\sigma\iint x^2\,\mathrm dA =\sigma\frac{R^4}{12}.

Passo 6

Somamos as contribuições de A, B e C:
I_x=I_{x,A}+I_{x,B}+I_{x,C} =\sigma\Bigl(\tfrac{\pi R^4}{8}+\tfrac{\pi R^4}{16}+\tfrac{R^4}{12}\Bigr),
I_y=I_{y,A}+I_{y,B}+I_{y,C} =\sigma\Bigl(\tfrac{\pi R^4}{16}+\tfrac{\pi R^4}{8}+\tfrac{R^4}{12}\Bigr),
I_z=I_{z,A}+I_{z,B}+I_{z,C} =\sigma\Bigl(\tfrac{\pi R^4}{16}+\tfrac{\pi R^4}{16}+\tfrac{R^4}{6}\Bigr).
Substituindo \sigma=3{,}4\\ \mathrm{kg/m^2} e R=0{,}375 m:
R^4=(0{,}375)^4\approx1,9775\times10^{-2},
I_x=I_y\approx3{,}4\Bigl(\tfrac{\pi\cdot1{,}9775\times10^{-2}}{8}+\tfrac{\pi\cdot1{,}9775\times10^{-2}}{16}+\tfrac{1{,}9775\times10^{-2}}{12}\Bigr) \approx4{,}52\times10^{-2}\\ \mathrm{kg\,m^2},
I_z\approx3{,}4\Bigl(\tfrac{\pi\cdot1{,}9775\times10^{-2}}{16}+\tfrac{\pi\cdot1{,}9775\times10^{-2}}{16}+\tfrac{1{,}9775\times10^{-2}}{6}\Bigr) \approx3{,}76\times10^{-2}\\ \mathrm{kg\,m^2}.

Resposta

I_x=I_y\approx4{,}52\times10^{-2}\\ \mathrm{kg\cdot m^2},\quad I_z\approx3{,}76\times10^{-2}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

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