Abaixo estão tabulados os dados de peso molecular para um dado polímero. Calcule (a) o peso molecular médio pelo número de moléculas, e (b) o peso molecular médio pelo peso das moléculas, (c) Se existe o conhecimento de que o grau de polimerização médio pelo peso das moléculas é de 780, qual dentre os polímeros que estão listados na Tabela 15.3 é este polímero? Por quê? (d) Qual é o grau de polimerização médio pelo número de moléculas para este material?
Faixa de Pesos
Moleculares (\mathrm{g} / \mathrm{mol})
x_{i}
w_{i}
15.000-30.000
0,04
0,01
30.000-45.000
0,07
0,04
45.000-60.000
0,16
0,11
60.000-75.000
0,26
0,24
75.000-90.000
0,24
0,27
90.000-105.000
0,12
0,16
105.000-120.000
0,08
0,12
120.000-135.000
0,03
0,05
Passo 1
O enunciado pede: (a) o peso molecular médio pelo número de moléculas, (b) o peso molecular médio pelo peso das moléculas, (c) sabendo que o grau de polimerização médio pelo peso é \,780, identificar qual polímero da Tabela 15.3 corresponde a esse material e justificar, (d) calcular o grau de polimerização médio pelo número de moléculas para esse material.
Dados fornecidos (faixas de massa molecular e frações): a tabela dá as faixas de pesos moleculares (em \mathrm{g/mol}) e, para cada faixa, as frações molares x_i e fracionárias em massa w_i:
Não há mais informações além destas. Vou representar cada faixa por seu ponto médio (valor típico) e usar x_i e w_i conforme a tabela para calcular as médias pedidas.
Passo 2
Explicação das fórmulas e do método (passo-a-passo didático).
O peso molecular médio pelo número (Mn) é a média simples ponderada pelas frações molares x_i. A definição usada é:
\mathrm{Mn}=\sum_i x_i M_i,
onde M_i é o peso molecular representativo da i-ésima faixa (aqui, o ponto médio da faixa) e x_i é a fração molar dessa faixa. Cada x_i representa a fração do número total de moléculas que está nessa faixa.
O peso molecular médio pelo peso (Mw) é a média ponderada pelas frações em massa w_i:
\mathrm{Mw}=\sum_i w_i M_i,
onde w_i é a fração da massa total contida nas moléculas da i-ésima faixa.
Por que usamos o ponto médio M_i? Porque temos os dados agrupados por faixas; ao não termos a distribuição detalhada dentro de cada faixa, a aproximação padrão é usar o ponto médio da faixa como representante.
Passo 3
Calcular os pontos médios M_i de cada faixa (cada cálculo mostrado):
Identificar o polímero a partir do grau de polimerização médio pelo peso conhecido.
O grau de polimerização médio pelo peso (\overline{X}_w ou \mathrm{DP}_w) relaciona-se com \mathrm{Mw} via a massa molar do repetido (massa do mer, M_0):
\mathrm{Mw}=M_0\cdot \mathrm{DP}_w.
Logo o peso do mer é
M_0=\frac{\mathrm{Mw}}{\mathrm{DP}_w}.
Substituindo \mathrm{Mw}=81\,450\\ \mathrm{g/mol} (do Passo 5) e \mathrm{DP}_w=780 (dado):
Agora, para identificar o polímero, comparamos M_0\approx104{,}42\\ \mathrm{g/mol} com massas molares dos meros de polímeros comuns (isto é, massas das unidades repetidas). Um mer com massa aproximada de 104\\ \mathrm{g/mol} é o grupo repetido do estireno (monômero estireno, fórmula \mathrm{C}_8\mathrm{H}_8), cuja massa molar é aproximadamente 104{,}15\\ \mathrm{g/mol}. Portanto o polímero correspondente é o poliestireno (polímero do estireno). Justificativa: o valor de M_0 calculado coincide com a massa do mer do estireno, logo o material listado que tem esse mer na Tabela 15.3 é o poliestireno.
Passo 7
Calcular o grau de polimerização médio pelo número (\mathrm{DP}_n), isto é:
\mathrm{DP}_n=\frac{\mathrm{Mn}}{M_0}.
Usando \mathrm{Mn}=73\,800\\ \mathrm{g/mol} (Passo 4) e M_0=81\,450/780 (Passo 6), é conveniente usar a forma fracionária para reduzir erro:
Arredondando, \mathrm{DP}_n\approx 707 unidades repetidas por cadeia.
Resposta
(a) \mathrm{Mn}=73\,800\\ \mathrm{g/mol}
(b) \mathrm{Mw}=81\,450\\ \mathrm{g/mol}
(c) Polímero: poliestireno (porque M_0=\dfrac{\mathrm{Mw}}{\mathrm{DP}_w}\approx104{,}42\\ \mathrm{g/mol}, que coincide com a massa do mer do estireno)
(d) \mathrm{DP}_n\approx706{,}74 (aprox. 707)