Abaixo estão tabulados os dados de peso molecular para um dado polímero. Calcule (a) o peso molecular médio pelo número de moléculas, e (b) o peso molecular médio pelo peso das moléculas, (c) Se existe o conhecimento de que o grau de polimerização médio pelo peso das moléculas é de 780, qual dentre os polímeros que estão listados na Tabela 15.3 é este polímero? Por quê? (d) Qual é o grau de polimerização médio pelo número de moléculas para este material?
Faixa de Pesos
Moleculares (\mathrm{g} / \mathrm{mol})
x_{i} w_{i}
15.000-30.000 0,04 0,01
30.000-45.000 0,07 0,04
45.000-60.000 0,16 0,11
60.000-75.000 0,26 0,24
75.000-90.000 0,24 0,27
90.000-105.000 0,12 0,16
105.000-120.000 0,08 0,12
120.000-135.000 0,03 0,05

Passo 1

O enunciado pede: (a) o peso molecular médio pelo número de moléculas, (b) o peso molecular médio pelo peso das moléculas, (c) sabendo que o grau de polimerização médio pelo peso é \,780, identificar qual polímero da Tabela 15.3 corresponde a esse material e justificar, (d) calcular o grau de polimerização médio pelo número de moléculas para esse material.
Dados fornecidos (faixas de massa molecular e frações): a tabela dá as faixas de pesos moleculares (em \mathrm{g/mol}) e, para cada faixa, as frações molares x_i e fracionárias em massa w_i:
\begin{array}{cccc} \text{Faixa } & M\text{ aproximado (a usar)} & x_i & w_i\\\\ 15\,000-30\,000 & & 0{,}04 & 0{,}01\\\\ 30\,000-45\,000 & & 0{,}07 & 0{,}04\\\\ 45\,000-60\,000 & & 0{,}16 & 0{,}11\\\\ 60\,000-75\,000 & & 0{,}26 & 0{,}24\\\\ 75\,000-90\,000 & & 0{,}24 & 0{,}27\\\\ 90\,000-105\,000 & & 0{,}12 & 0{,}16\\\\ 105\,000-120\,000 & & 0{,}08 & 0{,}12\\\\ 120\,000-135\,000 & & 0{,}03 & 0{,}05 \end{array}
Não há mais informações além destas. Vou representar cada faixa por seu ponto médio (valor típico) e usar x_i e w_i conforme a tabela para calcular as médias pedidas.

Passo 2

Explicação das fórmulas e do método (passo-a-passo didático).
  • O peso molecular médio pelo número (Mn) é a média simples ponderada pelas frações molares x_i. A definição usada é:
\mathrm{Mn}=\sum_i x_i M_i,
onde M_i é o peso molecular representativo da i-ésima faixa (aqui, o ponto médio da faixa) e x_i é a fração molar dessa faixa. Cada x_i representa a fração do número total de moléculas que está nessa faixa.
  • O peso molecular médio pelo peso (Mw) é a média ponderada pelas frações em massa w_i:
\mathrm{Mw}=\sum_i w_i M_i,
onde w_i é a fração da massa total contida nas moléculas da i-ésima faixa.
Por que usamos o ponto médio M_i? Porque temos os dados agrupados por faixas; ao não termos a distribuição detalhada dentro de cada faixa, a aproximação padrão é usar o ponto médio da faixa como representante.

Passo 3

Calcular os pontos médios M_i de cada faixa (cada cálculo mostrado):
\begin{aligned} M_1&= \frac{15\,000+30\,000}{2}=22\,500,\\\ M_2&= \frac{30\,000+45\,000}{2}=37\,500,\\\ M_3&= \frac{45\,000+60\,000}{2}=52\,500,\\\ M_4&= \frac{60\,000+75\,000}{2}=67\,500,\\\ M_5&= \frac{75\,000+90\,000}{2}=82\,500,\\\ M_6&= \frac{90\,000+105\,000}{2}=97\,500,\\\ M_7&= \frac{105\,000+120\,000}{2}=112\,500,\\\ M_8&= \frac{120\,000+135\,000}{2}=127\,500. \end{aligned}

Passo 4

Calcular \mathrm{Mn}=\sum_i x_i M_i. Vou calcular cada termo x_i M_i e somar (cada operação mostrada):
\begin{aligned} x_1M_1&=0{,}04\times22\,500=900,\\\ x_2M_2&=0{,}07\times37\,500=2\,625,\\\ x_3M_3&=0{,}16\times52\,500=8\,400,\\\ x_4M_4&=0{,}26\times67\,500=17\,550,\\\ x_5M_5&=0{,}24\times82\,500=19\,800,\\\ x_6M_6&=0{,}12\times97\,500=11\,700,\\\ x_7M_7&=0{,}08\times112\,500=9\,000,\\\ x_8M_8&=0{,}03\times127\,500=3\,825. \end{aligned}
Somando todos os termos:
\mathrm{Mn}=900+2\,625+8\,400+17\,550+19\,800+11\,700+9\,000+3\,825=73\,800\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 5

Calcular \mathrm{Mw}=\sum_i w_i M_i. Novamente, cada termo w_i M_i:
\begin{aligned} w_1M_1&=0{,}01\times22\,500=225,\\\ w_2M_2&=0{,}04\times37\,500=1\,500,\\\ w_3M_3&=0{,}11\times52\,500=5\,775,\\\ w_4M_4&=0{,}24\times67\,500=16\,200,\\\ w_5M_5&=0{,}27\times82\,500=22\,275,\\\ w_6M_6&=0{,}16\times97\,500=15\,600,\\\ w_7M_7&=0{,}12\times112\,500=13\,500,\\\ w_8M_8&=0{,}05\times127\,500=6\,375. \end{aligned}
Somando:
\mathrm{Mw}=225+1\,500+5\,775+16\,200+22\,275+15\,600+13\,500+6\,375=81\,450\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 6

Identificar o polímero a partir do grau de polimerização médio pelo peso conhecido.
  • O grau de polimerização médio pelo peso ( \overline{X}_w ou \mathrm{DP}_w) relaciona-se com \mathrm{Mw} via a massa molar do repetido (massa do mer, M_0):
\mathrm{Mw}=M_0\cdot \mathrm{DP}_w.
Logo o peso do mer é
M_0=\frac{\mathrm{Mw}}{\mathrm{DP}_w}.
Substituindo \mathrm{Mw}=81\,450\\ \mathrm{g/mol} (do Passo 5) e \mathrm{DP}_w=780 (dado):
M_0=\frac{81\,450}{780}=\frac{27\,15}{26}=104{,}4230769\\ \mathrm{g/mol}\\ (\text{aprox. }104{,}42).
  • Agora, para identificar o polímero, comparamos M_0\approx104{,}42\\ \mathrm{g/mol} com massas molares dos meros de polímeros comuns (isto é, massas das unidades repetidas). Um mer com massa aproximada de 104\\ \mathrm{g/mol} é o grupo repetido do estireno (monômero estireno, fórmula \mathrm{C}_8\mathrm{H}_8), cuja massa molar é aproximadamente 104{,}15\\ \mathrm{g/mol}. Portanto o polímero correspondente é o poliestireno (polímero do estireno). Justificativa: o valor de M_0 calculado coincide com a massa do mer do estireno, logo o material listado que tem esse mer na Tabela 15.3 é o poliestireno.

Passo 7

Calcular o grau de polimerização médio pelo número ( \mathrm{DP}_n), isto é:
\mathrm{DP}_n=\frac{\mathrm{Mn}}{M_0}.
Usando \mathrm{Mn}=73\,800\\ \mathrm{g/mol} (Passo 4) e M_0=81\,450/780 (Passo 6), é conveniente usar a forma fracionária para reduzir erro:
\mathrm{DP}_n=\frac{73\,800}{M_0}=\frac{73\,800}{81\,450/780}= \frac{73\,800\times 780}{81\,450}.
Calculando:
\mathrm{DP}_n\approx 706{,}74.
Arredondando, \mathrm{DP}_n\approx 707 unidades repetidas por cadeia.

Resposta

(a) \mathrm{Mn}=73\,800\\ \mathrm{g/mol}
(b) \mathrm{Mw}=81\,450\\ \mathrm{g/mol}
(c) Polímero: poliestireno (porque M_0=\dfrac{\mathrm{Mw}}{\mathrm{DP}_w}\approx104{,}42\\ \mathrm{g/mol}, que coincide com a massa do mer do estireno)
(d) \mathrm{DP}_n\approx706{,}74 (aprox. 707)

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