Abaixo são apresentadas três séries. Faça a identificação da série e analise a convergência. Dica: Deixe claro qual o teste que está sendo utilizado e a razão de tal escolha.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt[4]{n}}

Passo 1

O enunciado fornece a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O termo geral (sem o sinal alternante) é \dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}=\dfrac{1}{n^{1/4}}.
  • O fator de sinal é (-1)^{n+1}, logo os sinais alternam +\,, -\,, +\,, -\,,\dots.
  • Precisa-se identificar o tipo da série e analisar a convergência (se converge absolutamente, condicionalmente ou diverge).

Passo 2

Verificar o comportamento do termo geral em módulo: calculemos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/4}}.
Explicação didática: para n\to\infty a potência n^{1/4}\to\infty, logo o inverso tende a zero. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/4}}=0.
Isso é necessário (mas não suficiente) para que uma série com sinais alternados possa convergir: os termos devem tender a zero.

Passo 3

Mostrar que os termos em módulo formam uma sequência decrescente (monótona):
defina a função contínua f(x)=x^{-1/4} para x>0. Sua derivada é
f'(x)=-\frac{1}{4}x^{-5/4},
que é negativa para todo x>0. Portanto f é estritamente decrescente em (0,\infty). Consequentemente, a sequência
b_n=\frac{1}{n^{1/4}}
é decrescente: para todo n\ge1,
b_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{1/4}}<\frac{1}{n^{1/4}}=b_n.
Explicação alternativa (elementar): comparar b_{n+1}/b_n = \big(\tfrac{n}{n+1}\big)^{1/4}<1.

Passo 4

Aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternante). Enunciado do teste (em palavras simples e precisas): se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e tal que \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} b_n
converge (pelo critério de Leibniz). No nosso caso b_n=\dfrac{1}{n^{1/4}} satisfaz todas as hipóteses: b_n>0, já mostramos que é decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0. Portanto concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{1/4}}
converge.
Dica prática para a prova: ao ver (-1)^{n} ou (-1)^{n+1} multipicando um termo cujo módulo tende a zero e decresce, acenda o sinal: aplicar Leibniz é normalmente a forma mais direta.

Passo 5

Verificar convergência absoluta: considerar a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{1/4}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/4}}.
Isto é uma série do tipo p-série \sum n^{-p} com p=\tfrac{1}{4}. Lembrando o resultado do teste p-séries: \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{4}\le1, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/4}} diverge. Conclusão: a série original não é absolutamente convergente.
Breve justificativa do teste p-séries (para a prova): para p\le1 o termo não decai rápido o suficiente e a soma diverge (pode-se comparar com integral \int_1^\infty x^{-p}\,dx).

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados:
  • A série alternante converge (por critério de Leibniz).
  • A série de módulos diverge (por ser uma p-série com p=\tfrac{1}{4}\le1).
Portanto a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente: converge pelo critério de Leibniz e não é absolutamente convergente (a série dos módulos é a p-série com p=\tfrac{1}{4}, que diverge).

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