Abaixo são apresentadas três séries. Faça a identificação da série e analise a convergência. Dica: Deixe claro qual o teste que está sendo utilizado e a razão de tal escolha. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt[4]{n}}
Aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternante). Enunciado do teste (em palavras simples e precisas): se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e tal que \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} b_n
converge (pelo critério de Leibniz). No nosso caso b_n=\dfrac{1}{n^{1/4}} satisfaz todas as hipóteses: b_n>0, já mostramos que é decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0. Portanto concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{1/4}}
converge.
Dica prática para a prova: ao ver (-1)^{n} ou (-1)^{n+1} multipicando um termo cujo módulo tende a zero e decresce, acenda o sinal: aplicar Leibniz é normalmente a forma mais direta.
Passo 5
Verificar convergência absoluta: considerar a série dos módulos
Isto é uma série do tipo p-série \sum n^{-p} com p=\tfrac{1}{4}. Lembrando o resultado do teste p-séries: \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{4}\le1, então a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/4}} diverge. Conclusão: a série original não é absolutamente convergente.
Breve justificativa do teste p-séries (para a prova): para p\le1 o termo não decai rápido o suficiente e a soma diverge (pode-se comparar com integral \int_1^\infty x^{-p}\,dx).
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados:
A série alternante converge (por critério de Leibniz).
A série de módulos diverge (por ser uma p-série com p=\tfrac{1}{4}\le1).
Portanto a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente: converge pelo critério de Leibniz e não é absolutamente convergente (a série dos módulos é a p-série com p=\tfrac{1}{4}, que diverge).