Encontre todas as soluções não nulas da forma
, se for possível, para a seguinte equação diferencial parcial:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pede: encontrar todas as soluções não nulas da forma
que satisfaçam a equação diferencial parcial
- Informação dada: a solução deve ser separável, isto é, pode ser escrita como produto de uma função só de
e outra só de : . - Resultado esperado: expressões para
e (com constantes) que produzam soluções não nulas .
Passo 2
Substituir
na equação e calcular as derivadas parciais.
- Calcular a segunda derivada em relação a
:
- Calcular a derivada em relação a
:
- Substituindo na PDE:
Passo 3
Separar as variáveis e justificar a introdução de uma constante de separação.
- Dividindo ambos os lados por
(assumindo e não identicamente zero):
- O lado esquerdo depende apenas de
e o direito apenas de . Para que essa igualdade seja válida para todos deve ser igual a uma constante real. Denotemos essa constante por . Assim:
Passo 4
Escrever os dois problemas ordinários equivalentes e resolvê-los de forma geral.
- Das igualdades obtemos os dois EDOs:
- Resolver a EDO de
(é uma EDO linear de primeira ordem, separável):
onde
é constante não nula (se
obtemos a solução trivial
que não queremos).
- Resolver a EDO de
. A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Resolver usando a equação característica . Há três casos distintos dependendo do sinal de .
Passo 5
Caso
. Escrever a solução de
e combinar com
.
- Seja
com . A equação característica tem raízes . Assim
com constantes
(nem ambos zero se quisermos
).
- Com
, a solução separável é
Podemos absorver
em
e
se quisermos, escrevendo por exemplo
com constantes
não ambas nulas.
Passo 6
Caso
. Resolver e interpretar.
- Se
, as EDOs ficam
- Integrando:
com constantes
não ambos zero (para
) e
para evitar
.
- A solução separável é
ou, novamente absorvendo
,
não dependente de
, com
e
não ambos nulos.
Passo 7
Caso
. Escrever a solução de
e combinar com
.
- Escreva
com . A equação característica tem raízes imaginárias . A solução real geral é
com
não ambos nulos.
- Para
temos
- Assim a solução separável é
Mais uma vez pode-se absorver
em
, ficando
com
não ambos nulos.
Passo 8
Resumo, observações finais e como usar isso na prova.
- Em suma, todas as soluções não nulas separáveis
são obtidas escolhendo uma constante de separação real e tomando e como a solução de . Os três tipos explícitos são dados nos passos anteriores. - Observação prática para prova: escolher
como parâmetro livre, resolver as EDOs usuais (característica para , exponencial para ), e lembrar de não aceitar a constante trivial se o enunciado pede soluções não nulas. Também é comum reparametrizar por (positivo) ou (negativo) para escrever as soluções em termos de exponenciais reais ou funções trigonométricas.
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: