Encontre todas as soluções não nulas da forma u(x, y)=X(x) Y(y), se for possível, para a seguinte equação diferencial parcial:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=4 \frac{\partial u}{\partial y}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede: encontrar todas as soluções não nulas da forma u(x,y)=X(x)\,Y(y) que satisfaçam a equação diferencial parcial
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=4 \frac{\partial u}{\partial y}.
  • Informação dada: a solução deve ser separável, isto é, pode ser escrita como produto de uma função só de x e outra só de y: u(x,y)=X(x)Y(y).
  • Resultado esperado: expressões para X(x) e Y(y) (com constantes) que produzam soluções não nulas u.

Passo 2

Substituir u(x,y)=X(x)Y(y) na equação e calcular as derivadas parciais.
  • Calcular a segunda derivada em relação a x:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = X''(x)\,Y(y).
  • Calcular a derivada em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y} = X(x)\,Y'(y).
  • Substituindo na PDE:
X''(x)\,Y(y) = 4\,X(x)\,Y'(y).

Passo 3

Separar as variáveis e justificar a introdução de uma constante de separação.
  • Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y) (assumindo X e Y não identicamente zero):
\frac{X''(x)}{X(x)} = 4\,\frac{Y'(y)}{Y(y)}.
  • O lado esquerdo depende apenas de x e o direito apenas de y. Para que essa igualdade seja válida para todos (x,y) deve ser igual a uma constante real. Denotemos essa constante por \lambda. Assim:
\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda \qquad\text{e}\qquad 4\,\frac{Y'(y)}{Y(y)} = \lambda.

Passo 4

Escrever os dois problemas ordinários equivalentes e resolvê-los de forma geral.
  • Das igualdades obtemos os dois EDOs:
X''(x) = \lambda\,X(x),
Y'(y) = \frac{\lambda}{4}\,Y(y).
  • Resolver a EDO de Y (é uma EDO linear de primeira ordem, separável):
\frac{Y'(y)}{Y(y)} = \frac{\lambda}{4} \quad\Rightarrow\quad \ln |Y(y)| = \frac{\lambda}{4}y + C_1
\Rightarrow\quad Y(y) = C\,e^{\frac{\lambda}{4}y},
onde C é constante não nula (se C=0 obtemos a solução trivial u\equiv0 que não queremos).
  • Resolver a EDO de X. A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Resolver usando a equação característica r^2=\lambda. Há três casos distintos dependendo do sinal de \lambda.

Passo 5

Caso \lambda>0. Escrever a solução de X e combinar com Y.
  • Seja \lambda=\alpha^{2} com \alpha>0. A equação característica r^{2}=\alpha^{2} tem raízes r=\pm\alpha. Assim
X(x)=A\,e^{\alpha x}+B\,e^{-\alpha x},
com constantes A,B (nem ambos zero se quisermos X\not\equiv0).
  • Com Y(y)=C\,e^{\frac{\alpha^{2}}{4}y}, a solução separável é
u(x,y)=\bigl(A\,e^{\alpha x}+B\,e^{-\alpha x}\bigr)\,C\,e^{\frac{\alpha^{2}}{4}y}.
Podemos absorver C em A e B se quisermos, escrevendo por exemplo
u(x,y)=\widetilde{A}\,e^{\alpha x+\frac{\alpha^{2}}{4}y}+\widetilde{B}\,e^{-\alpha x+\frac{\alpha^{2}}{4}y},
com constantes \widetilde{A},\widetilde{B} não ambas nulas.

Passo 6

Caso \lambda=0. Resolver e interpretar.
  • Se \lambda=0, as EDOs ficam
X''(x)=0,\qquad Y'(y)=0.
  • Integrando:
X(x)=a x + b,\qquad Y(y)=C,
com constantes a,b não ambos zero (para X\not\equiv0) e C\neq0 para evitar u\equiv0.
  • A solução separável é
u(x,y)=(a x + b)\,C,
ou, novamente absorvendo C,
u(x,y)=\widetilde{a}\,x+\widetilde{b},
não dependente de y, com \widetilde{a} e \widetilde{b} não ambos nulos.

Passo 7

Caso \lambda<0. Escrever a solução de X e combinar com Y.
  • Escreva \lambda=-\omega^{2} com \omega>0. A equação característica r^{2}=-\omega^{2} tem raízes imaginárias r=\pm i\omega. A solução real geral é
X(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x),
com A,B não ambos nulos.
  • Para Y temos
Y(y)=C\,e^{-\frac{\omega^{2}}{4}y}.
  • Assim a solução separável é
u(x,y)=\bigl(A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)\bigr)\,C\,e^{-\frac{\omega^{2}}{4}y}.
Mais uma vez pode-se absorver C em A,B, ficando
u(x,y)=\widetilde{A}\cos(\omega x)\,e^{-\frac{\omega^{2}}{4}y}+\widetilde{B}\sin(\omega x)\,e^{-\frac{\omega^{2}}{4}y},
com \widetilde{A},\widetilde{B} não ambos nulos.

Passo 8

Resumo, observações finais e como usar isso na prova.
  • Em suma, todas as soluções não nulas separáveis u(x,y)=X(x)Y(y) são obtidas escolhendo uma constante de separação real \lambda e tomando Y(y)=C e^{\frac{\lambda}{4}y} e X como a solução de X''=\lambda X. Os três tipos explícitos são dados nos passos anteriores.
  • Observação prática para prova: escolher \lambda como parâmetro livre, resolver as EDOs usuais (característica para X, exponencial para Y), e lembrar de não aceitar a constante trivial C=0 se o enunciado pede soluções não nulas. Também é comum reparametrizar \lambda por \alpha^{2} (positivo) ou -\omega^{2} (negativo) para escrever as soluções em termos de exponenciais reais ou funções trigonométricas.

Resposta

Para \lambda=\alpha^{2}>0:
u(x,y)=\widetilde{A}\,e^{\alpha x+\frac{\alpha^{2}}{4}y}+\widetilde{B}\,e^{-\alpha x+\frac{\alpha^{2}}{4}y},\quad \text{com }(\widetilde{A},\widetilde{B})\neq(0,0).
Para \lambda=0:
u(x,y)=\widetilde{a}\,x+\widetilde{b},\quad \text{com }(\widetilde{a},\widetilde{b})\neq(0,0).
Para \lambda=-\omega^{2}<0:
u(x,y)=\widetilde{A}\cos(\omega x)\,e^{-\frac{\omega^{2}}{4}y}+\widetilde{B}\sin(\omega x)\,e^{-\frac{\omega^{2}}{4}y},\quad \text{com }(\widetilde{A},\widetilde{B})\neq(0,0).

Exercícios relacionados