Abaixo você encontra uma lista de situações de pesquisa. Para cada uma delas indique se - apropriado é proceder uma análise de regressão ou uma de correlação. Justifique sua indicação.
O objetivo e utilizar o preço da carne de gado para estimar a quantidade de procura desse bem.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que foi dado. A imagem do enunciado traz a instrução: o objetivo é utilizar o preço da carne de gado para estimar a quantidade procurada (quantidade demandada) desse bem. Não há dados numéricos fornecidos — só a descrição do objetivo.
Pergunta do exercício: para essa situação, é mais apropriado proceder a uma análise de regressão ou a uma análise de correlação? Justificar a escolha.

Passo 2

Explicando, de forma bem didática, o que é correlação e o que é regressão (sem ainda decidir qual usar).
  • Correlação (coeficiente de Pearson): mede apenas a força e a direção da associação linear entre duas variáveis. A fórmula do coeficiente de correlação linear é
r = \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^{2}\sum_{i}(y_i-\bar{y})^{2}}},
onde x_i e y_i são observações, e \bar{x} e \bar{y} são as médias. Interpretação prática: r varia entre -1 e 1; valores próximos de -1 ou 1 indicam associação forte; r=0 indica ausência de associação linear.
  • Regressão (modelo de regressão linear simples): procura estimar uma função que relaciona uma variável dependente Y (que queremos explicar ou prever) a uma variável independente X (aquela que usamos para explicar). A forma mais comum é
Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon,
onde \beta_0 é a intercepto, \beta_1 é o coeficiente angular (indica quanto, em média, Y varia quando X varia uma unidade) e \varepsilon é o termo erro (diferença entre observação e o valor previsto). Em amostra estimamos \beta_0 e \beta_1 por \hat\beta_0 e \hat\beta_1.

Passo 3

Relacionando o objetivo do enunciado com as definições acima (a escolha prática).
  • O enunciado diz claramente: “usar o preço da carne para estimar a quantidade procurada”. Palavra-chave: estimar (ou prever) a quantidade a partir do preço. Quando o objetivo é obter uma equação que permite prever/estimar Q dado P, e interpretar o efeito marginal do preço sobre a quantidade, o método adequado é regressão.
  • A correlação daria só um número que resume a associação entre preço e quantidade, mas não fornece uma equação de previsão nem um coeficiente com interpretação de mudança média de Q por unidade de P. Portanto, correlação é insuficiente para o objetivo descrito.
Conclusão intermédia (justificativa curta): para estimar quantitativamente a procura a partir do preço, é apropriado proceder a uma análise de regressão (e não apenas correlação).

Passo 4

Como montar a regressão na prática (passos que você deve executar numa prova ou trabalho), com explicações do que cada etapa significa.
  1. Definir variáveis: escolher Y como quantidade demandada (por exemplo Q) e X como preço (por exemplo P). Sempre escreva claramente qual é a dependente e qual é a independente.
  2. Visualizar os dados: fazer um diagrama de dispersão (scatterplot) de Q no eixo vertical contra P no eixo horizontal para verificar a forma da relação (linear, curvilínea, etc.). Isso ajuda a escolher a forma do modelo.
  3. Especificar o modelo: começar por um modelo linear simples
Q = \beta_0 + \beta_1 P + \varepsilon.
Se no scatter aparecer relação não-linear, considerar transformação (por exemplo log-linear ou log-log; ver passo sobre elasticidade).
4) Estimar os coeficientes por mínimos quadrados ordinários (MQO). As fórmulas para a estimativa da inclinação e do intercepto em MQO são
\hat\beta_1 = \frac{\sum_{i}(P_i-\bar{P})(Q_i-\bar{Q})}{\sum_{i}(P_i-\bar{P})^{2}}, \qquad \hat\beta_0 = \bar{Q} - \hat\beta_1 \bar{P},
onde \bar{P} e \bar{Q} são as médias amostrais. Essas fórmulas vêm da minimização da soma dos quadrados dos resíduos \sum (Q_i - \hat Q_i)^2.

Passo 5

Interpretação dos coeficientes e previsão — como usar na prova.
  • Interpretação de \hat\beta_1: é a variação média na quantidade Q quando o preço P aumenta 1 unidade. Se \hat\beta_1 for negativo, significa que Q tende a cair quando P sobe (comportamento normal de uma curva de demanda).
  • Previsão: a quantidade prevista para um preço P^\ast é
\hat Q^\ast = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 P^\ast.
  • Medir ajuste: o coeficiente de determinação R^{2} (em regressão linear simples R^{2}=r^{2}) indica a fração da variabilidade de Q explicada pelo modelo com P. Interpretar R^2 como percentagem de variação explicada.

Passo 6

Teste de significância e erro padrão — o que fazer se o professor pedir conclusão estatística.
  • Testar se o preço tem efeito significativo em Q: hipótese nula H_0: \beta_1 = 0 versus alternativa H_1: \beta_1 \neq 0. Estatística de teste é
t = \frac{\hat\beta_1}{\widehat{SE}(\hat\beta_1)},
onde \widehat{SE}(\hat\beta_1) é o erro padrão da estimativa (calculado a partir dos resíduos). Rejeita-se H_0 se |t| for maior do que o valor crítico da distribuição t com n-2 graus de liberdade. Na prova, apresente a regra de decisão e interprete o p-valor.

Passo 7

Um pequeno exemplo numérico (bem mastigado) para fixar o cálculo da reta — serve para você reproduzir passo a passo na prova.
Considere três observações hipotéticas (apenas para mostrar cálculo):
  • P: 10, 12, 14
  • Q: 100, 90, 80
Calcule médias:
\bar{P} = 12,\qquad \bar{Q} = 90.
Calcule numerador e denominador para \hat\beta_1:
\sum (P_i-\bar P)(Q_i-\bar Q) = (-2)(10)+0(0)+2(-10) = -40,
\sum (P_i-\bar P)^2 = (-2)^2 + 0^2 + 2^2 = 8.
Logo
\hat\beta_1 = \frac{-40}{8} = -5.
Intercepto:
\hat\beta_0 = \bar Q - \hat\beta_1 \bar P = 90 - (-5)\cdot 12 = 150.
Equação estimada:
\hat Q = 150 - 5P.
Interpretação: um aumento de 1 unidade no preço reduz, em média, 5 unidades na quantidade prevista. Para P=13, \hat Q = 150 - 5\cdot 13 = 85.
Esse exemplo mostra como aplicar as fórmulas em prova sem depender de software (calcule somas e médias, aplique as fórmulas).

Passo 8

Outros pontos importantes que costumam aparecer em prova e que justificam atenção ao usar regressão em economia de demanda.
  • Forma funcional: para demanda, frequentemente usa-se transformação log-log:
\ln Q = \beta_0 + \beta_1 \ln P + \varepsilon,
porque aí \beta_1 é diretamente a elasticidade-preço da demanda (variação percentual de Q dada variação percentual de P). Isso é útil na interpretação econômica.
  • Variáveis de controle: incluir outras variáveis que afetem Q (renda do consumidor, preços de substitutos/complementares, sazonalidade) reduz viés por omissão.
  • Problema de simultaneidade: em mercados, preço e quantidade podem ser determinados simultaneamente (oferta e procura), o que torna P endógeno. Se há simultaneidade, a estimativa por MQO pode ser viésada e inconsistênte; neste caso, o método apropriado pode envolver variáveis instrumentais (IV) ou um desenho que identifique a demanda. Na prova, mencione esse ponto se pedir justificativa crítica.

Passo 9

Resumo prático e resposta direta (o que o examinador quer ouvir)
  • Resposta técnica: proceder a uma análise de regressão.
  • Justificativa curta (como escrever na prova): porque o objetivo é estimar/prever a quantidade demandada em função do preço; a regressão fornece a equação de previsão e um coeficiente que mede o efeito marginal do preço sobre a quantidade. A correlação apenas descreve força e direção da associação, não permite estimativas ou previsões nem interpretação do efeito marginal.

Resposta

Regressão

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