Abrindo uma garrafa de champanha. Em uma garrafa de champanha, o bolsão de gás (dióxido de carbono, principalmente) que fica entre o líquido e a rolha está a uma pressão de
. Quando a rolha é removida da garrafa, o gás sofre uma expansão adiabática até que sua pressão se torne igual a pressão ambiente,
. Suponha que a razão entre os calores específicos molares a pressão e a volume constante são, respectivamente, igual a
e que a temperatura inicial do gás é
, qual é a sua temperatura no fim da expansão adiabática?
Passo 1
O enunciado dá uma expansão adiabática do gás entre dois estados e pede a temperatura final. Informações fornecidas:
- Pressão inicial:
. - Pressão final (ambiente):
. - Razão dos calores específicos:
. - Temperatura inicial:
.
O que a questão pede:
- Determinar a temperatura final
do gás ao fim da expansão adiabática.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter a temperatura inicial para Kelvin, porque as leis dos gases usam a escala absoluta. A conversão é
Portanto
Agora, vamos lembrar a relação que descreve uma expansão adiabática reversível de um gás ideal. Para esse processo vale a lei
Também é útil a forma que relaciona temperaturas e volumes:
Vou explicar rapidamente de onde vem essa última: usando
const e a equação dos gases ideais
, é possível eliminar
e
e obter
const (faço a derivação no próximo passo).
Aqui
é a razão entre os calores molares a pressão e volume constantes:
Ela mede “o quanto” a pressão muda em relação ao volume numa adiabática; para um gás monoatômico
costuma ser maior, e para moléculas com mais graus de liberdade
é menor. No problema
.
Passo 3
Derivação curta e didática da relação que usaremos entre
e
.
Começo com
e com a equação dos gases ideais (para uma quantidade fixa de gás, aqui podemos usar a forma molar)
A partir de
isolamos
como função de
:
Substituindo em
obtemos
Rearranjando,
Multiplicando ambos os lados por
dá
ou seja
Agora usamos esta constante entre os estados inicial e final:
Para eliminar volumes e obter uma relação entre
e
, substituímos
(da equação dos gases) na forma geral
const. Fazendo a conta resulta na relação padrão
logo entre os dois estados
Isolando
obtemos
Esta é a fórmula prática que vamos usar. Explico o que cada símbolo significa:
-
: temperatura inicial (em K). -
: temperatura final (em K). -
: pressões inicial e final. -
: razão . - O expoente
aparece naturalmente quando se elimina o volume das relações adiabáticas e da equação dos gases.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os valores do enunciado.
Calcule o expoente:
A razão de pressões é
Portanto
Passo 5
Agora fazemos as contas numéricas de uma forma que dá pra reproduzir na prova sem muita mágica: calcular
por meio de duas raízes quadradas sucessivas.
Primeiro calcule a raiz quadrada de
:
Em seguida calcule a raiz quadrada desse resultado para obter a quarta raiz:
Logo
Multiplicando por
:
Passo 6
Converter para graus Celsius, se quiser interpretar o resultado no termômetro comum:
Interpretação rápida (para te motivar): o ar/gás fica muito frio porque numa expansão adiabática rápida o gás perde energia interna ao realizar trabalho contra a pressão externa — por isso a temperatura cai bastante.