Abrindo uma garrafa de champanha. Em uma garrafa de champanha, o bolsão de gás (dióxido de carbono, principalmente) que fica entre o líquido e a rolha está a uma pressão de P_{i}=5,00 \mathrm{~atm}. Quando a rolha é removida da garrafa, o gás sofre uma expansão adiabática até que sua pressão se torne igual a pressão ambiente, 1,00 \mathrm{~atm}. Suponha que a razão entre os calores específicos molares a pressão e a volume constante são, respectivamente, igual a 4 / 3 e que a temperatura inicial do gás é 5^{\circ} \mathrm{C}, qual é a sua temperatura no fim da expansão adiabática?

Passo 1

O enunciado dá uma expansão adiabática do gás entre dois estados e pede a temperatura final. Informações fornecidas:
  • Pressão inicial: P_{i}=5{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão final (ambiente): P_{f}=1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Razão dos calores específicos: \gamma=\dfrac{C_{P}}{C_{V}}=\dfrac{4}{3}.
  • Temperatura inicial: T_{i}=5^\circ\mathrm{C}.
O que a questão pede:
  • Determinar a temperatura final T_{f} do gás ao fim da expansão adiabática.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a temperatura inicial para Kelvin, porque as leis dos gases usam a escala absoluta. A conversão é
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Portanto
T_{i}=5^\circ\mathrm{C}=5+273{,}15=278{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora, vamos lembrar a relação que descreve uma expansão adiabática reversível de um gás ideal. Para esse processo vale a lei
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Também é útil a forma que relaciona temperaturas e volumes:
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Vou explicar rapidamente de onde vem essa última: usando P V^{\gamma}= const e a equação dos gases ideais P V=R T, é possível eliminar P e V e obter T V^{\gamma-1}= const (faço a derivação no próximo passo).
Aqui \gamma é a razão entre os calores molares a pressão e volume constantes:
\gamma=\dfrac{C_{P}}{C_{V}}.
Ela mede “o quanto” a pressão muda em relação ao volume numa adiabática; para um gás monoatômico \gamma costuma ser maior, e para moléculas com mais graus de liberdade \gamma é menor. No problema \gamma=\tfrac{4}{3}.

Passo 3

Derivação curta e didática da relação que usaremos entre T e P.
Começo com
P V^{\gamma}=C_1\quad\text{(constante)}
e com a equação dos gases ideais (para uma quantidade fixa de gás, aqui podemos usar a forma molar)
P V = R T.
A partir de P V^{\gamma}=C_1 isolamos P como função de V:
P = C_1 V^{-\gamma}.
Substituindo em P V = R T obtemos
C_1 V^{-\gamma}\cdot V = R T \quad\Rightarrow\quad C_1 V^{1-\gamma}=R T.
Rearranjando,
T = \frac{C_1}{R}\,V^{1-\gamma}.
Multiplicando ambos os lados por V^{\gamma-1}
T V^{\gamma-1} = \frac{C_1}{R} = \text{constante},
ou seja
T V^{\gamma-1}=\text{const}.
Agora usamos esta constante entre os estados inicial e final:
T_{i} V_{i}^{\gamma-1}=T_{f} V_{f}^{\gamma-1}.
Para eliminar volumes e obter uma relação entre T e P, substituímos V=\dfrac{R T}{P} (da equação dos gases) na forma geral T V^{\gamma-1}= const. Fazendo a conta resulta na relação padrão
T^{\gamma} P^{1-\gamma}=\text{const},
logo entre os dois estados
T_{i}^{\gamma} P_{i}^{1-\gamma}=T_{f}^{\gamma} P_{f}^{1-\gamma}.
Isolando T_{f} obtemos
T_{f}=T_{i}\left(\dfrac{P_{f}}{P_{i}}\right)^{\dfrac{\gamma-1}{\gamma}}.
Esta é a fórmula prática que vamos usar. Explico o que cada símbolo significa:
  • T_{i}: temperatura inicial (em K).
  • T_{f}: temperatura final (em K).
  • P_{i},P_{f}: pressões inicial e final.
  • \gamma: razão C_{P}/C_{V}.
  • O expoente \dfrac{\gamma-1}{\gamma} aparece naturalmente quando se elimina o volume das relações adiabáticas e da equação dos gases.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores do enunciado.
Calcule o expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{\tfrac{4}{3}-1}{\tfrac{4}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}}=\frac{1}{4}.
A razão de pressões é
\frac{P_{f}}{P_{i}}=\frac{1{,}00}{5{,}00}=\frac{1}{5}=0{,}2.
Portanto
T_{f}=T_{i}\left(0{,}2\right)^{1/4}=T_{i}\left(\frac{1}{5}\right)^{1/4}=T_{i}\,5^{-1/4}.

Passo 5

Agora fazemos as contas numéricas de uma forma que dá pra reproduzir na prova sem muita mágica: calcular 5^{1/4} por meio de duas raízes quadradas sucessivas.
Primeiro calcule a raiz quadrada de 5:
\sqrt{5}\approx 2{,}2360679.
Em seguida calcule a raiz quadrada desse resultado para obter a quarta raiz:
5^{1/4}=\sqrt{\sqrt{5}}\approx\sqrt{2{,}2360679}\approx 1{,}4953488.
Logo
5^{-1/4}\approx \frac{1}{1{,}4953488}\approx 0{,}6687403.
Multiplicando por T_{i}=278{,}15\\ \mathrm{K}:
T_{f}=278{,}15\times 0{,}6687403\approx 186{,}01\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Converter para graus Celsius, se quiser interpretar o resultado no termômetro comum:
T_{f}(^{\circ}\mathrm{C})=T_{f}(\mathrm{K})-273{,}15=186{,}01-273{,}15\approx -87{,}14^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida (para te motivar): o ar/gás fica muito frio porque numa expansão adiabática rápida o gás perde energia interna ao realizar trabalho contra a pressão externa — por isso a temperatura cai bastante.

Resposta

T_{f}=186{,}0\\ \mathrm{K}
T_{f}=-87{,}1^\circ\mathrm{C}

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