Um mol de um gás ideal sofre uma transformação hipotética do tipo:
constante. No estado i o gás possui uma pressão P e um volume V; no estado final fo gás possui um volume 4V.
Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?
Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
mol de um gás ideal. - O processo segue a lei
constante (vou chamar essa constante de ). - No estado inicial o gás tem pressão
e volume . - No estado final o volume é
.
O que a questão pede: calcular o calor trocadopelo gás com a vizinhança ao ir do estado inicial para o estado final .
Passo 2
Princípios que vamos usar (passo-a-passo, explicando cada peça):
- Primeira lei da termodinâmica (por molécula ou por mol):
Aquié o calor trocado, é a variação da energia interna e é o trabalho realizado pelo gás. - Para um gás ideal mono‑mol (uma mole) a energia interna depende só da temperatura e vale
, onde é o calor molar a volume constante (unidade: J/(mol·K)). Assim - O trabalho elementar é
Portanto
Esta é a expressão que vamos integrar entre os estados inicial e final.
Passo 3
Expressar
e
em função de
para poder integrar em
:
- Da lei do processo temos
, logo
(A constante
pode ser obtida a partir do estado inicial:
.)
- Pela equação de estado do gás ideal (uma mole) vale
, portanto
Logo
é proporcional a
ao longo do processo.
Passo 4
Calcular
em função de
:
- Diferenciando
obtemos
Agora substituímos
e
em
:
Colocando em evidência
:
Passo 5
Integrar
do volume inicial
ao final
:
A constante
e o fator
saem da integral:
Sabendo que
, obtemos
Calcule as raízes:
. Então
Passo 6
Usar
(peguei esse dado do estado inicial) para simplificar:
portanto
Multiplicando o fator dá uma forma mais compacta:
Também se quiser ligar à temperatura inicial
, como
, podemos escrever
Se for necessário um valor numérico, precisaria especificar
(por exemplo, para gás monoatômico
, etc.). Mas o enunciado não especificou o tipo do gás, então a forma em termos de
,
,
e
é a resposta geral.