Um mol de um gás ideal sofre uma transformação hipotética do tipo: \mathrm{P} \cdot \mathrm{V}^{1 / 2}= constante. No estado i o gás possui uma pressão P e um volume V; no estado final fo gás possui um volume 4V.
Qual o calor trocado pelo gás com a vizinhança?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 1 mol de um gás ideal.
  • O processo segue a lei \mathrm{P}\cdot \mathrm{V}^{1/2}= constante (vou chamar essa constante de K).
  • No estado inicial o gás tem pressão \mathrm{P} e volume \mathrm{V}.
  • No estado final o volume é 4\mathrm{V}.
    O que a questão pede: calcular o calor trocado Q pelo gás com a vizinhança ao ir do estado inicial (\mathrm{P},\mathrm{V}) para o estado final (\mathrm{P}_f,4\mathrm{V}).

Passo 2

Princípios que vamos usar (passo-a-passo, explicando cada peça):
  • Primeira lei da termodinâmica (por molécula ou por mol): \mathrm{d}Q = \mathrm{d}U + \mathrm{d}W.
    Aqui \mathrm{d}Q é o calor trocado, \mathrm{d}U é a variação da energia interna e \mathrm{d}W é o trabalho realizado pelo gás.
  • Para um gás ideal mono‑mol (uma mole) a energia interna depende só da temperatura e vale U = C_v T, onde C_v é o calor molar a volume constante (unidade: J/(mol·K)). Assim \mathrm{d}U = C_v\,\mathrm{d}T.
  • O trabalho elementar é \mathrm{d}W = P\,\mathrm{d}V.
    Portanto
\mathrm{d}Q = C_v\,\mathrm{d}T + P\,\mathrm{d}V.
Esta é a expressão que vamos integrar entre os estados inicial e final.

Passo 3

Expressar P e T em função de V para poder integrar em V:
  • Da lei do processo temos \;P V^{1/2}=K\;, logo
P = K V^{-1/2}.
(A constante K pode ser obtida a partir do estado inicial: K = P V^{1/2}.)
  • Pela equação de estado do gás ideal (uma mole) vale \;P V = R T\;, portanto
T = \frac{P V}{R} = \frac{K V^{-1/2}\cdot V}{R} = \frac{K}{R}\,V^{1/2}.
Logo T é proporcional a V^{1/2} ao longo do processo.

Passo 4

Calcular \mathrm{d}T em função de \mathrm{d}V:
  • Diferenciando T = \dfrac{K}{R}V^{1/2} obtemos
\mathrm{d}T = \frac{K}{2R}\,V^{-1/2}\,\mathrm{d}V.
Agora substituímos P e \mathrm{d}T em \mathrm{d}Q = C_v\,\mathrm{d}T + P\,\mathrm{d}V:
\mathrm{d}Q = C_v\left(\frac{K}{2R}V^{-1/2}\,\mathrm{d}V\right) + \left(K V^{-1/2}\right)\mathrm{d}V.
Colocando em evidência K V^{-1/2}\,\mathrm{d}V:
\mathrm{d}Q = K V^{-1/2}\left(1 + \frac{C_v}{2R}\right)\mathrm{d}V.

Passo 5

Integrar \mathrm{d}Q do volume inicial \mathrm{V} ao final 4\mathrm{V}:
Q=\int_{\mathrm{V}}^{4\mathrm{V}} K V^{-1/2}\left(1+\frac{C_v}{2R}\right)\mathrm{d}V.
A constante K e o fator \left(1+\dfrac{C_v}{2R}\right) saem da integral:
Q = K\left(1+\frac{C_v}{2R}\right)\int_{\mathrm{V}}^{4\mathrm{V}} V^{-1/2}\,\mathrm{d}V.
Sabendo que \displaystyle\int V^{-1/2}\,\mathrm{d}V = 2V^{1/2}, obtemos
Q = K\left(1+\frac{C_v}{2R}\right)\cdot 2\left[(4\mathrm{V})^{1/2} - (\mathrm{V})^{1/2}\right].
Calcule as raízes: (4\mathrm{V})^{1/2}=2\mathrm{V}^{1/2}. Então
Q = 2K\left(1+\frac{C_v}{2R}\right)\big(2\mathrm{V}^{1/2}-\mathrm{V}^{1/2}\big) =2K\left(1+\frac{C_v}{2R}\right)\mathrm{V}^{1/2}.

Passo 6

Usar K = P\mathrm{V}^{1/2} (peguei esse dado do estado inicial) para simplificar:
K\mathrm{V}^{1/2} = P\mathrm{V},
portanto
Q = 2P\mathrm{V}\left(1+\frac{C_v}{2R}\right).
Multiplicando o fator dá uma forma mais compacta:
Q = P\mathrm{V}\left(2+\frac{C_v}{R}\right).
Também se quiser ligar à temperatura inicial T_i, como P\mathrm{V}=R T_i, podemos escrever
Q = R T_i\left(2+\frac{C_v}{R}\right)=T_i\,(2R + C_v).
Se for necessário um valor numérico, precisaria especificar C_v (por exemplo, para gás monoatômico C_v=\tfrac{3}{2}R, etc.). Mas o enunciado não especificou o tipo do gás, então a forma em termos de P, \mathrm{V}, C_v e R é a resposta geral.

Resposta

Q = P\mathrm{V}\left(2+\frac{C_v}{R}\right)

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