A aceleração de um carro (em pés/segundo) t segundos a partir do repouso é dada pela função
a(t)=2 cos (2 pi t)
Determine a posição do carro em qualquer instante t. Sabendo que v(0)=0 e s(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a posição de um carro em qualquer instante $ t $, sabendo que a aceleração dele é dada por $ a(t) = 2 \cos (2\pi t) t éç t = 0 $), a velocidade $ v(0) = 0 $ e a posição $ s(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cálculo, especificamente integração, que nos ajuda a passar da aceleração para a velocidade e, depois, da velocidade para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração:
v(t)

Passo 3

Vamos fazer essa integração. A integral de $ \cos(kt) $ em relação a $ t $ é $ \frac{\sin(kt)}{k} $. Aplicando isso:
cos(kt)

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C_1 $. Sabemos que $ v(0) = 0 $:
C1
Então, a expressão para a velocidade fica:
v(0) = 0

Passo 5

Agora, para encontrar a posição $ s(t) $, integramos a velocidade:
s(t)

Passo 6

Vamos integrar $ \sin(kt) $. A integral de $ \sin(kt) $ em relação a $ t $ é $ -\frac{\cos(kt)}{k} $. Aplicando isso:
sin(kt)

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar $ C_2 $. Sabemos que $ s(0) = 0 $:
C2
Então, a expressão para a posição fica:
s(0) = 0

Resposta

A posição do carro em qualquer instante $ t $ é
t

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