A aceleração de um carro (em pés/segundo)
segundos a partir do repouso é dada pela função
Determine a posição do carro em qualquer instante
. Sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a posição de um carro em qualquer instante $ t $, sabendo que a aceleração dele é dada por $ a(t) = 2 \cos (2\pi t)
t = 0 $), a velocidade $ v(0) = 0 $ e a posição $ s(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cálculo, especificamente integração, que nos ajuda a passar da aceleração para a velocidade e, depois, da velocidade para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração:
Passo 3
Vamos fazer essa integração. A integral de $ \cos(kt) $ em relação a $ t $ é $ \frac{\sin(kt)}{k} $. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C_1 $. Sabemos que $ v(0) = 0 $:
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 5
Agora, para encontrar a posição $ s(t) $, integramos a velocidade:
Passo 6
Vamos integrar $ \sin(kt) $. A integral de $ \sin(kt) $ em relação a $ t $ é $ -\frac{\cos(kt)}{k} $. Aplicando isso:
Passo 7
Usamos a condição inicial para encontrar $ C_2 $. Sabemos que $ s(0) = 0 $:
Então, a expressão para a posição fica:
Resposta
A posição do carro em qualquer instante $ t $ é