Se em 1990, foram utilizados 20,3 bilhões de barris de petróleo no mundo todo e se a demanda mundial de petróleo cresce exponencialmente a uma taxa de
ao ano, então a demanda
anual de petróleo no tempo t é
em 2000).
Se a demanda continua crescendo a uma taxa de
ao ano, qual será a quantidade de petróleo consumida entre os anos de 2000 a 2024 ?
Se a demanda continua crescendo a uma taxa de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de crescimento exponencial. Em 1990, foram usados 20,3 bilhões de barris de petróleo, e a demanda está crescendo 9% ao ano. A gente precisa descobrir quanto de petróleo será consumido entre os anos 2000 e 2024. Para isso, vamos usar a função que modela essa demanda e integrar para encontrar a quantidade total consumida nesse período.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da demanda: $ A(t) = 20,3 , e^{0,09t} $. Aqui, $ t $ é o tempo em anos, contando a partir de 2000 ($ t = 0 $ em 2000). Essa função nos mostra quantos barris são consumidos a cada ano.
Passo 3
Como queremos saber a quantidade total consumida de 2000 a 2024, precisamos somar o consumo de cada ano nesse período. Matematicamente, isso é feito calculando a integral de $ A(t) $ de $ t = 0 $ a $ t = 24 $.
Passo 4
Vamos escrever a integral:
Passo 5
Para resolver a integral, lembramos que a integral de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} $. Aplicando isso:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 24:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos:
- Calcular $ e^{2,16} $:
- Subtrair 1:
- Dividir 20,3 por 0,09:
- Multiplicar os resultados:
Resposta
A quantidade de petróleo consumida entre os anos de 2000 a 2024 será aproximadamente 1.730 bilhões de barris.