Se em 1990, foram utilizados 20,3 bilhões de barris de petróleo no mundo todo e se a demanda mundial de petróleo cresce exponencialmente a uma taxa de 9 % ao ano, então a demanda A(t) anual de petróleo no tempo t é A(t)=20,3 e^0,09 t(t=0 em 2000).
Se a demanda continua crescendo a uma taxa de 9 % ao ano, qual será a quantidade de petróleo consumida entre os anos de 2000 a 2024 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de crescimento exponencial. Em 1990, foram usados 20,3 bilhões de barris de petróleo, e a demanda está crescendo 9% ao ano. A gente precisa descobrir quanto de petróleo será consumido entre os anos 2000 e 2024. Para isso, vamos usar a função que modela essa demanda e integrar para encontrar a quantidade total consumida nesse período.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da demanda: $ A(t) = 20,3 , e^{0,09t} $. Aqui, $ t $ é o tempo em anos, contando a partir de 2000 ($ t = 0 $ em 2000). Essa função nos mostra quantos barris são consumidos a cada ano.

Passo 3

Como queremos saber a quantidade total consumida de 2000 a 2024, precisamos somar o consumo de cada ano nesse período. Matematicamente, isso é feito calculando a integral de $ A(t) $ de $ t = 0 $ a $ t = 24 $.

Passo 4

Vamos escrever a integral:
Quantidade total = integral0^24 20,3 , e^0,09t , dt

Passo 5

Para resolver a integral, lembramos que a integral de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} $. Aplicando isso:
e^kt

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 24:
Quantidade total = 20,3 times 10,09 ( e^0,09 times 24 - e^0,09 times 0 )
= 20,30,09 ( e^2,16 - 1 )

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos:
  1. Calcular $ e^{2,16} $:
e^2,16
  1. Subtrair 1:
e^2,16 approx 8,67
  1. Dividir 20,3 por 0,09:
8,67 - 1 = 7,67
  1. Multiplicar os resultados:
20,30,09 approx 225,56 õ

Resposta

A quantidade de petróleo consumida entre os anos de 2000 a 2024 será aproximadamente 1.730 bilhões de barris.

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