Aceleração de uma partícula é diretamente proporcional ao tempo t. Para \mathbf{t}=\mathbf{0 s} a velocidade da partícula é v=9m/s. Sabendo que ambas, velocidade e coordenada de posição são iguais quando \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}, escreva a equação do movimento da partícula.

Passo 1

O enunciado diz que a aceleração é diretamente proporcional ao tempo, ou seja,
a(t)=k\,t
para alguma constante k. Sabemos também que em t=0 a velocidade vale v(0)=9 m/s e que em t=3 s a velocidade e a posição satisfazem
v(3)=s(3)\,.
O objetivo é achar as funções v(t) e s(t).

Passo 2

Como a(t)=\dfrac{dv}{dt}, temos
\frac{dv}{dt}=k\,t.
Integramos em relação a t para obter v(t):
v(t)=\int k\,t\,dt=\frac{k}{2}\,t^2 + C_1.

Passo 3

Usando a condição inicial v(0)=9, obtemos
v(0)=\frac{k}{2}\cdot0^2 + C_1 = C_1 = 9.
Logo
v(t)=\frac{k}{2}\,t^2 + 9.

Passo 4

A velocidade é a derivada da posição, v(t)=\dfrac{ds}{dt}. Assim
\frac{ds}{dt}=\frac{k}{2}\,t^2 + 9
e integrando:
s(t)=\int\Bigl(\frac{k}{2}\,t^2 + 9\Bigr)dt =\frac{k}{6}\,t^3 + 9t + C_2.

Passo 5

Para determinar C_2, usamos v(3)=s(3). Calculamos
v(3)=\frac{k}{2}\,3^2 + 9 = \frac{9k}{2}+9,
s(3)=\frac{k}{6}\,3^3 + 9\cdot3 + C_2 =\frac{27k}{6} +27 + C_2 =\frac{9k}{2} +27 + C_2.
Impondo v(3)=s(3)
\frac{9k}{2}+9 = \frac{9k}{2}+27 + C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 9 - 27 = -18.

Passo 6

Substituindo C_2 na expressão de s(t), obtemos a equação do movimento:
\boxed{ v(t)=\frac{k}{2}\,t^2 + 9, \quad s(t)=\frac{k}{6}\,t^3 + 9t -18. }

Resposta

v(t)=\frac{k}{2}\,t^2 + 9,\quad s(t)=\frac{k}{6}\,t^3 + 9t - 18,
onde k é a constante de proporcionalidade tal que a(t)=k\,t.

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