Encontre a EDO correspondente à:
d) família de retas tangente à parábola
d) família de retas tangente à parábola
Passo 1
O enunciado pede a equação diferencial cuja família de soluções é exatamente o conjunto de retas tangentes à parábola
O conteúdo envolve: derivação implícita para achar o coeficiente angular da tangente, escrever a reta tangente em função de um parâmetro e depois eliminar esse parâmetro usando
.
Passo 2
Seja
um ponto qualquer da parábola. Derivando implicitamente
temos
Logo o coeficiente angular da reta tangente em
é
.
Passo 3
A equação da reta tangente em
é
Como na parábola
, reescrevemos
Chamando
, a família de retas é
Passo 4
Para eliminar o parâmetro
, note que a derivada de qualquer reta dessa família satisfaz
Substituindo em
dá
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 5
Reorganizando, chegamos à forma final da equação diferencial que descreve essa família de tangentes: