Encontre a EDO correspondente à:
d) família de retas tangente à parábola y^{2}=2 x

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial cuja família de soluções é exatamente o conjunto de retas tangentes à parábola
y^{2}=2x.
O conteúdo envolve: derivação implícita para achar o coeficiente angular da tangente, escrever a reta tangente em função de um parâmetro e depois eliminar esse parâmetro usando y'=\frac{dy}{dx}.

Passo 2

Seja (x_{0},y_{0}) um ponto qualquer da parábola. Derivando implicitamente
y^{2}=2x
temos
2y\,\frac{dy}{dx}=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y_{0}}.
Logo o coeficiente angular da reta tangente em (x_{0},y_{0}) é m=\frac{1}{y_{0}}.

Passo 3

A equação da reta tangente em (x_{0},y_{0}) é
y - y_{0}=\frac{1}{y_{0}}\,(x - x_{0}).
Como na parábola x_{0}=\frac{y_{0}^{2}}{2}, reescrevemos
y = \frac{1}{y_{0}}\,x + \Bigl(y_{0}-\frac{1}{y_{0}}\cdot\frac{y_{0}^{2}}{2}\Bigr) = \frac{1}{y_{0}}\,x + \frac{y_{0}}{2}.
Chamando c=y_{0}, a família de retas é
y=\frac{1}{c}\,x+\frac{c}{2}.

Passo 4

Para eliminar o parâmetro c, note que a derivada de qualquer reta dessa família satisfaz
y'=\frac{1}{c} \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{y'}.
Substituindo em y=\frac{1}{c}x+\frac{c}{2}
y = y'\,x + \frac{1}{2y'}.
Multiplicando ambos os lados por 2y' obtemos
2y\,y' = 2x\,(y')^{2} + 1.

Passo 5

Reorganizando, chegamos à forma final da equação diferencial que descreve essa família de tangentes:
2x\,(y')^{2} \;-\;2y\,y' \;+\;1 \;=\;0.

Resposta

2x\,(y')^{2}-2y\,y'+1=0.

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