A aceleração de uma partícula em função do tempo é dada por a=3+5 t em que a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t=5 s, a velocidade é v=6 m / s e a posiçãoda partícula é x=46 m. Determine a posição e a velocidade dessa partícula em t=9 s.
a) 213,3 m e 49 m / s.
b) 108,5 me 74 m / s.
c) 347,33 me 158 m / s.
d) 195,5 me 74 m / s.
e) 587,3 me 152 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula cuja aceleração depende do tempo, dada por a = 3 + 5t m/s². Sabemos que, no instante t = 5 segundos, a velocidade é v = 6 m/s e a posição é x = 46 metros. O que queremos é descobrir qual será a velocidade e a posição dessa partícula no instante t = 9 segundos. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos permite encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar $ \vec{a} = 3 + 5t $:
a = 3 + 5t
Aqui, v(t) = integral (3 + 5t) , dt = 3t + 52t^2 + C é a constante de integração que precisamos determinar usando a informação que temos no C segundos.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial v(5) = 6 m/s para encontrar C:
6 = 3(5) + 52(5)^2 + C
6 = 15 + 52(25) + C
6 = 15 + 62,5 + C
6 = 77,5 + C
C = 6 - 77,5
C = -71,5
Então, a função da velocidade fica:
v(t) = 3t + 52t^2 - 71,5

Passo 4

Agora vamos encontrar a função da posição. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral (3t + 52t^2 - 71,5) dt = 32t^2 + 56t^3 - 71,5t + D
Aqui, D é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição x(5) = 46 metros.

Passo 5

Usando x(5) = 46:
46 = 32(5)^2 + 56(5)^3 - 71,5(5) + D
46 = 32(25) + 56(125) - 357,5 + D
46 = 37,5 + 104,1667 - 357,5 + D
46 = -216,8333 + D
D = 46 + 216,8333
D = 262,8333
Então, a função da posição fica:
x(t) = 32t^2 + 56t^3 - 71,5t + 262,8333

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade e a posição no instante t = 9 segundos.
Primeiro, a velocidade:
v(9) = 3(9) + 52(9)^2 - 71,5
v(9) = 27 + 52(81) - 71,5
v(9) = 27 + 202,5 - 71,5
v(9) = 158 m/s
Agora, a posição:
x(9) = 32(9)^2 + 56(9)^3 - 71,5(9) + 262,8333
x(9) = 32(81) + 56(729) - 643,5 + 262,8333
x(9) = 121,5 + 607,5 - 643,5 + 262,8333
x(9) = 347,3333 m

Resposta

A posição e a velocidade da partícula em t = 9 segundos são 347,33 metros e 158 m/s, respectivamente. Portanto, a alternativa correta é:
c) $347,33 \mathrm{~m} $ e 347,33 m .

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