A aceleração de uma partícula em função do tempo é dada por
em que
está em metros por segundo ao quadrado e
em segundos. Em
, a velocidade é
e a posiçãoda partícula é
. Determine a posição e a velocidade dessa partícula em
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula cuja aceleração depende do tempo, dada por
m/s². Sabemos que, no instante
segundos, a velocidade é
m/s e a posição é
metros. O que queremos é descobrir qual será a velocidade e a posição dessa partícula no instante
segundos. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos permite encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar $ \vec{a} = 3 + 5t $:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a informação que temos no
segundos.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial
m/s para encontrar
:
Então, a função da velocidade fica:
Passo 4
Agora vamos encontrar a função da posição. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição
metros.
Passo 5
Usando
:
Então, a função da posição fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a velocidade e a posição no instante
segundos.
Primeiro, a velocidade:
Agora, a posição:
Resposta
A posição e a velocidade da partícula em
segundos são
metros e
m/s, respectivamente. Portanto, a alternativa correta é:
c) $347,33 \mathrm{~m} $ e
.