Acerca de estimadores pontuais, julgue cada item a seguir, e Justifique a sua resposta:
a. Para cada parâmetro populacional, há um único estimador pontual.
b. O estimador pontual da média populacional é dado pela média aritmética da amostra.
c. A estimativa pontual é obtida por meio de um intervalo de confiança que contém o valor estimado do parâmetro populacional com uma certa probabilidade, como 95%.
a. Para cada parâmetro populacional, há um único estimador pontual.
b. O estimador pontual da média populacional é dado pela média aritmética da amostra.
c. A estimativa pontual é obtida por meio de um intervalo de confiança que contém o valor estimado do parâmetro populacional com uma certa probabilidade, como 95%.
Passo 1
Você recebeu três afirmações sobre estimadores pontuais e deve julgar cada uma (verdadeira ou falsa) com justificativa. As três afirmações são:
a. Para cada parâmetro populacional, há um único estimador pontual.
b. O estimador pontual da média populacional é dado pela média aritmética da amostra.
c. A estimativa pontual é obtida por meio de um intervalo de confiança que contém o valor estimado do parâmetro populacional com uma certa probabilidade, como .
b. O estimador pontual da média populacional é dado pela média aritmética da amostra.
c. A estimativa pontual é obtida por meio de um intervalo de confiança que contém o valor estimado do parâmetro populacional com uma certa probabilidade, como
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado: são declarações gerais sobre estimadores pontuais, média amostral e intervalo de confiança; não foram dadas amostras específicas nem suposições extras além do texto.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar bem os conceitos — sem pânico, vou explicando passo a passo como se estivéssemos juntos na lousa.
-
Parâmetro populacional: é um número fixo que descreve a população (por exemplo, a média populacional
, a variância populacional , a proporção , etc.). Esse valor é desconhecido na prática e é o que queremos estimar. -
Estimador (pontual): é uma regra, isto é, uma função das observações da amostra que dá um valor numérico para estimar o parâmetro. Formalmente, é uma variável aleatória, porque depende da amostra. Por exemplo, a média amostral
é um estimador para
.
-
Estimativa pontual: é o número concreto que obtenho depois de observar a amostra. Ex.: se em uma amostra encontro
, esse é a estimativa pontual de (valor numérico). -
Intervalo de confiança: é um procedimento que, a partir da amostra, fornece um intervalo aleatório
tal que, em repetições do procedimento, uma fração (por exemplo ) dos intervalos conterá o verdadeiro parâmetro. O intervalo não é a mesma coisa que um estimador pontual — é uma estimação por intervalo.
Entendido isso, vamos aplicar aos itens.
Passo 3
A afirmação diz que “para cada parâmetro populacional, há um único estimador pontual”. Pense comigo: um estimador é qualquer função das observações que tentamos usar para aproximar o parâmetro. Não existe em teoria uma restrição que force haver só uma função possível. Exemplos concretos:
-
Para estimar a média populacional
, posso usar a média amostral . Mas também posso usar a mediana amostral, ou um “trimmed mean” (média com cortes), ou até um estimador do tipo com pesos apropriados. Todos esses são estimadores (diferentes) para o mesmo parâmetro . -
Para estimar a variância
, existem pelo menos duas formas comuns: o estimador amostral não viesado
e o estimador com denominador
Ambos estimam o mesmo parâmetro
(mas têm propriedades diferentes).
Portanto, há muitos estimadores possíveis para um mesmo parâmetro; não existe unicidade forçada. Isso mostra que a afirmação (a) não é verdadeira.
Passo 4
A afirmação (b) diz que “o estimador pontual da média populacional é dado pela média aritmética da amostra”. Vamos explicar por que a média amostral é, de fato, um estimador natural e frequentemente usado para
.
Definição do estimador média amostral:
onde
são as observações da amostra.
Propriedade importante (esperança da média amostral): supondo que as observações sejam independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com esperança
(isso é uma suposição padrão para justificar o uso), podemos calcular a esperança de
usando a linearidade da esperança:
Isto quer dizer que
é um estimador não viesado de
(a esperança do estimador é exatamente o parâmetro).
Além disso a média amostral costuma ter variância pequena (diminui com
) e, sob condições técnicas, é consistente (converge para
quando
). Por essas razões a média amostral é o estimador padrão para a média populacional.
Logo, a afirmativa (b) está de acordo com a prática estatística: a média amostral é o estimador pontual usual da média populacional. (Observação: há situações robustas ou com distribuições assimétricas onde outros estimadores podem ser preferidos, mas isso não contradiz que a média amostral é um estimador válido e com boas propriedades.)
Passo 5
A afirmação (c) diz que "a estimativa pontual é obtida por meio de um intervalo de confiança que contém o valor estimado do parâmetro populacional com uma certa probabilidade, como
". Vamos destrinchar isso com calma.
-
A estimativa pontual é um único número (por exemplo,
). Não se “obtém” uma estimativa pontual a partir de um intervalo; são conceitos distintos: a estimativa pontual vem direto do estimador (uma função dos dados) e resulta em um valor único. O intervalo de confiança é outro procedimento que produz um conjunto de valores . -
Um intervalo de confiança
significa que o método usado tem probabilidade de produzir intervalos que, em repetições do experimento, contenham o verdadeiro parâmetro. Não significa que, dado um intervalo observado , existe de chance do parâmetro estar dentro dele no sentido bayesiano (a interpretação frequencista é sobre o procedimento, não sobre o parâmetro fixo). Mas isso é detalhe de interpretação; o ponto essencial é: o intervalo é uma estimação por intervalo, não é o processo pelo qual se “obtém” a estimativa pontual. -
Além disso, a frase “contém o valor estimado do parâmetro populacional com uma certa probabilidade” está confusa: o intervalo de confiança não é construído para “conter a estimativa pontual” (normalmente a estimativa pontual fica no centro do intervalo), e sim para, com certo nível de confiança, conter o verdadeiro parâmetro. O fato de o ponto estimado ficar dentro do intervalo é trivial (se o intervalo for construído em torno do estimador, como costuma ser), mas isso não é o que define nem substitui a estimativa pontual.
Portanto, a idéia de que “a estimativa pontual é obtida por meio de um intervalo de confiança” está incorreta: são procedimentos diferentes e independentes na definição. Um intervalo de confiança pode ser construído a partir do estimador pontual (por exemplo,
), mas isso não faz da estimativa pontual um produto do intervalo — a estimativa pontual vem primeiro (do estimador); o intervalo é uma informação adicional sobre incerteza.
Passo 6
- Exemplo para (a): estimar
— tanto quanto a mediana amostral são estimadores diferentes. Logo não há unicidade. - Exemplo para (b): calcular
e usar como estimador de ; mostramos . - Exemplo para (c): com uma amostra posso ter
(estimativa pontual) e ainda construir o intervalo que pode ser, por exemplo, . A estimativa pontual é o ; o intervalo é informação extra sobre precisão. Um não é obtido “por meio” do outro.
Força aí — você já entendeu a diferença fundamental entre estimador (a regra), estimativa (o número) e intervalo (a medida de incerteza). Agora vamos ao fechamento com as respostas diretas.
Resposta
a. Falso
b. Verdadeiro
c. Falso
b. Verdadeiro
c. Falso