Calcule os seguintes Intervalos de Confiança:
Supondo uma sala de aula do mestrado com 36 alunos, possua uma média de idade de 24,2 anos; com um desvio padrão de 3 , e um nível de confiança de
.
Supondo uma sala de aula do mestrado com 36 alunos, possua uma média de idade de 24,2 anos; com um desvio padrão de 3 , e um nível de confiança de
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o intervalo de confiança para a média de idade de uma turma de mestrado, usando as informações fornecidas. Pergunta: qual é o intervalo de confiança de nível de
para a média de idade?
Dados fornecidos:
- (tamanho da amostra)\n-
(média amostral)\n-
(desvio padrão amostral)\n- nível de confiança
Dados fornecidos:
-
Passo 2
O que é um intervalo de confiança e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
Um intervalo de confiança para a média dá um intervalo de valores plausíveis para o valor verdadeiro da média populacional, com uma certa confiança (aqui
). A fórmula geral quando não conhecemos o desvio padrão populacional e usamos o desvio amostral é o intervalo baseado na distribuição
:\n
\nExpliquei cada símbolo:
-
é a média da amostra (aqui
).\n-
é o valor crítico da distribuição
com
graus de liberdade, correspondente à cauda de probabilidade
. Para nível de confiança
temos
, então
.\n-
é o desvio padrão da amostra (aqui
).\n-
é a raiz quadrada do tamanho da amostra (aqui
).\nPor que usamos
e não
? Porque não foi fornecido o desvio padrão populacional
; só temos
. Mesmo com
razoavelmente grande, o procedimento correto é usar
. Vou, depois, mostrar rapidamente a aproximação com
só para comparação.
Passo 3
Calcular os elementos do intervalo: graus de liberdade e valor crítico
.
- Graus de liberdade:
.\n- Para nível de confiança
precisamos de
(porque
). Consultando uma tabela
ou uma calculadora estatística obtemos aproximadamente\n
\n(é esse número que multiplica o erro padrão).
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error).
Erro padrão é a estimativa do desvio da média amostral em torno da média populacional e é dado por\n
\nSubstituindo:
, então\n
Passo 5
Calcular a margem de erro e os limites do intervalo.
Margem de erro:\n
\nLimites do intervalo:\n
\n
\nArredondando sensatamente (idades com duas casas decimais):
e
.
Passo 6
Interpretação intuitiva e incentivo.
Isto significa que, com nível de confiança , o verdadeiro valor da média de idade da turma está plausivelmente entre
e
anos. Em linguagem menos formal: se repetíssemos amostras parecidas muitas vezes, aproximadamente
desses intervalos construídos do mesmo jeito conteriam a média verdadeira. Tá indo bem — apesar da pressa, o procedimento é direto quando você lembra a fórmula e calcula passo a passo.
Isto significa que, com nível de confiança
Passo 7
Comparação rápida com a aproximação pelo
(opcional, para ganhar intuição).
Se, por acaso, usássemos a aproximação normal (valor crítico
) — o que alguns fazem quando
é grande — a margem seria\n
\nintervalo
, muito parecido com o intervalo
. Isso mostra que para
a diferença é pequena, mas a escolha do
é mais correta quando
é desconhecida.