Calcule os seguintes Intervalos de Confiança:
Supondo uma sala de aula do mestrado com 36 alunos, possua uma média de idade de 24,2 anos; com um desvio padrão de 3 , e um nível de confiança de 90 \%.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o intervalo de confiança para a média de idade de uma turma de mestrado, usando as informações fornecidas. Pergunta: qual é o intervalo de confiança de nível de 90\% para a média de idade?
Dados fornecidos:
- n = 36 (tamanho da amostra)\n- \bar{x} = 24,2 (média amostral)\n- s = 3 (desvio padrão amostral)\n- nível de confiança = 90\%

Passo 2

O que é um intervalo de confiança e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
Um intervalo de confiança para a média dá um intervalo de valores plausíveis para o valor verdadeiro da média populacional, com uma certa confiança (aqui 90\%). A fórmula geral quando não conhecemos o desvio padrão populacional e usamos o desvio amostral é o intervalo baseado na distribuição t:\n \bar{x} \pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\nExpliquei cada símbolo:
- \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=24,2).\n- t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o valor crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente à cauda de probabilidade \alpha/2. Para nível de confiança 90\% temos \alpha = 0,10, então 1-\alpha/2 = 0,95.\n- s é o desvio padrão da amostra (aqui s=3).\n- \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra (aqui \sqrt{36}).\nPor que usamos t e não z? Porque não foi fornecido o desvio padrão populacional \sigma; só temos s. Mesmo com n razoavelmente grande, o procedimento correto é usar t. Vou, depois, mostrar rapidamente a aproximação com z só para comparação.

Passo 3

Calcular os elementos do intervalo: graus de liberdade e valor crítico t.
- Graus de liberdade: n-1 = 36-1 = 35.\n- Para nível de confiança 90\% precisamos de t_{0,95,\,35} (porque 1-\alpha/2 = 0,95). Consultando uma tabela t ou uma calculadora estatística obtemos aproximadamente\n t_{0,95,\,35} \approx 1,6896.\n(é esse número que multiplica o erro padrão).

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error).
Erro padrão é a estimativa do desvio da média amostral em torno da média populacional e é dado por\n \text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}.\nSubstituindo: \sqrt{36}=6, então\n \text{SE} = \frac{3}{6} = 0{,}5.

Passo 5

Calcular a margem de erro e os limites do intervalo.
Margem de erro:\n \text{ME} = t_{0,95,\,35}\cdot\text{SE} \approx 1{,}6896 \times 0{,}5 = 0{,}8448.\nLimites do intervalo:\n \text{limite inferior} = \bar{x} - \text{ME} = 24{,}2 - 0{,}8448 = 23{,}3552,\n \text{limite superior} = \bar{x} + \text{ME} = 24{,}2 + 0{,}8448 = 25{,}0448.\nArredondando sensatamente (idades com duas casas decimais): \;23{,}36 e \;25{,}04.

Passo 6

Interpretação intuitiva e incentivo.
Isto significa que, com nível de confiança 90\%, o verdadeiro valor da média de idade da turma está plausivelmente entre \;23{,}36 e \;25{,}04 anos. Em linguagem menos formal: se repetíssemos amostras parecidas muitas vezes, aproximadamente 90\% desses intervalos construídos do mesmo jeito conteriam a média verdadeira. Tá indo bem — apesar da pressa, o procedimento é direto quando você lembra a fórmula e calcula passo a passo.

Passo 7

Comparação rápida com a aproximação pelo z (opcional, para ganhar intuição).
Se, por acaso, usássemos a aproximação normal (valor crítico z_{0,95}=1{,}645) — o que alguns fazem quando n é grande — a margem seria\n \text{ME}_z = 1{,}645\times 0{,}5 = 0{,}8225,\nintervalo \approx (24{,}2-0{,}8225,\;24{,}2+0{,}8225)=(23{,}3775,\;25{,}0225), muito parecido com o intervalo t. Isso mostra que para n=36 a diferença é pequena, mas a escolha do t é mais correta quando \sigma é desconhecida.

Resposta

[23,36;\\\ 25,04]

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