Achar a distância da reta r:lx=-2+3 t y=-7+2 t, t in R, à origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
x = -2 + 3t y = -7 + 2t , t in R
O objetivo é encontrar a distância dessa reta até a origem . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Vamos começar transformando a equação paramétrica da reta em sua forma geral n = (2, -3) . A partir das equações paramétricas, sabemos que a reta tem direção dada pelos coeficientes de 2x - 3y + C = 0 , ou seja, a direção é .
Primeiro, encontramos o vetor normal à reta, que é perpendicular à direção da reta. O vetor normal pode ser obtido trocando os componentes do vetor direção e invertendo um deles:
Assim, a equação geral da reta é:

Passo 3

Para encontrar o valor de x = -2 + 3(0) = -2 y = -7 + 2(0) = -7 , usamos um ponto que pertence à reta. Podemos usar o ponto correspondente a 2(-2) - 3(-7) + C = 0 -4 + 21 + C = 0 17 + C = 0 C = -17 :
2x - 3y - 17 = 0
Substituindo na equação da reta:
Então, a equação geral da reta é:

Passo 4

Agora, usamos a fórmula para calcular a distância d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 de um ponto d = |2(0) - 3(0) - 17|raiz2^2 + (-3)^2 d = |-17|raiz4 + 9 d = 17raiz13 a uma reta :
No nosso caso, o ponto é a origem e a equação da reta é . Substituímos os valores:

Resposta

A distância da reta à origem é .

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