Calcular a distância P à reta r nos seguintes casos: P=(-1,-2) e r: cos pi3 cdot x+sin pi3 cdot y=5.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a distância do ponto até a reta . Vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, que é bem útil nesses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para achar essa distância. Se a reta está na forma d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 e o ponto é , a distância é dada por:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação da reta para ficar na forma padrão cos pi3 cdot x + sin pi3 cdot y = 5 . A equação que a gente tem é:
cos pi3 cdot x + sin pi3 cdot y - 5 = 0
Subtraindo 5 de ambos os lados, fica:
Então, identificamos os coeficientes:

Passo 4

Vamos calcular o valor de cos pi3 = 12 e sin pi3 = raiz32 e . Sabemos que:
Então, e .

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
d = | 12 cdot (-1) + raiz32 cdot (-2) - 5 |raiz(12)^2 + (raiz32)^2
Vamos resolver o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Calculando o numerador:
12 cdot (-1) = -12
raiz32 cdot (-2) = -raiz3
- 12 - raiz3 - 5 = -112 - raiz3
Então, o valor absoluto fica:
| -112 - raiz3 | = 112 + raiz3

Passo 7

Agora, calculando o denominador:
raiz(12)^2 + (raiz32)^2 = raiz14 + 34 = raiz1 = 1

Passo 8

Finalmente, a distância é:
d = 112 + raiz3 approx 5,5 + 1,732 = 7,232

Resposta

A distância do ponto até a reta é aproximadamente unidades.

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