Achar os elementos do conjunto \{1,2,3,4,5\} que são primos com 8.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, dentro do conjunto \{1,2,3,4,5\}, os elementos que são "primos com 8".
Informações dadas:
  • O conjunto é \{1,2,3,4,5\}.
  • O número com o qual vamos testar primalidade relativa é 8.
    A pergunta concreta é: quais elementos de \{1,2,3,4,5\} têm máximo divisor comum igual a 1 com 8?

Passo 2

Entender o que significa "primos com 8". Dois inteiros a e b são primos entre si (ou coprimos) quando
\gcd(a,b)=1.
Aqui \gcd(a,b) é o maior inteiro que divide simultaneamente a e b. Uma maneira prática de verificar isso é fatorar b ou usar o algoritmo de Euclides (que calcula \gcd por restos sucessivos). Vou explicar os dois caminhos, que são úteis na prova.

Passo 3

Fatoração rápida de 8. Como lembrete, fatorar significa escrever como produto de primos:
8 = 2^3.
Isto diz que o único primo que divide 8 é 2. Logo qualquer número que compartilhe um fator primo com 8 necessariamente será divisível por 2 (ou seja, será par). Portanto, um atalho: um inteiro n é coprimo com 8 se, e somente se, n não for múltiplo de 2 — isto é, se n for ímpar.

Passo 4

Aplicando o atalho aos elementos do conjunto: os ímpares em \{1,2,3,4,5\} são 1,3,5. Esses são candidatos a serem coprimos com 8. Os pares 2 e 4 não poderão ser coprimos com 8 porque compartilham o fator 2.

Passo 5

Para ser totalmente rigoroso, calculamos \gcd(8,k) para cada k\in\{1,2,3,4,5\} usando o algoritmo de Euclides (mostro os passos dos restos):
Cálculo de \gcd(8,1). Como 1 divide 8, temos diretamente
\gcd(8,1)=1.

Passo 6

Cálculo de \gcd(8,2). Como 2 divide 8 (resto zero),
8 = 2\cdot 4 + 0 \quad\Rightarrow\quad \gcd(8,2)=2,
portanto 2 não é coprimo com 8.

Passo 7

Cálculo de \gcd(8,3) pelo algoritmo de Euclides:
8 = 3\cdot 2 + 2,
3 = 2\cdot 1 + 1,
2 = 1\cdot 2 + 0.
O último resto não nulo é 1, logo
\gcd(8,3)=1,
portanto 3 é coprimo com 8.

Passo 8

Cálculo de \gcd(8,4). Como 4 divide 8,
8 = 4\cdot 2 + 0 \quad\Rightarrow\quad \gcd(8,4)=4,
portanto 4 não é coprimo com 8.

Passo 9

Cálculo de \gcd(8,5) pelo algoritmo de Euclides:
8 = 5\cdot 1 + 3,
5 = 3\cdot 1 + 2,
3 = 2\cdot 1 + 1,
2 = 1\cdot 2 + 0.
O último resto não nulo é 1, então
\gcd(8,5)=1,
portanto 5 é coprimo com 8.

Passo 10

Conclusão: entre os elementos de \{1,2,3,4,5\}, os que são primos com 8 (ou seja, têm \gcd igual a 1 com 8) são exatamente 1,3,5. Bom trabalho — já pode decorar o truque: se um número é potência de 2, os coprimos com ele são os números ímpares.

Resposta

\{1,3,5\}

Exercícios relacionados