Achar a equação do parabolóide de vértice, na origem com eixo O Z, e que passa pelos pontos (3,0,1) e (3,2,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um parabolóide com vértice na origem e eixo ao longo de Oz. O conteúdo aqui é a forma geral de um parabolóide circular ou elíptico centrado na origem, e vamos precisar determinar os coeficientes A e B na equação z = A x^2 + B y^2 para que ele passe pelos pontos dados.

Passo 2

Como o vértice está na origem e o eixo é Oz, a equação geral do parabolóide é
z = A x^2 + B y^2
com A e B constantes que ainda precisamos achar.

Passo 3

Substituímos o ponto (3,0,1) na equação para obter A:
1 = Acdot 3^2 + Bcdot 0^2 = 9A
Logo,
A = 19 .

Passo 4

Agora usamos o ponto (3,2,2) para determinar B, sabendo que A=tfrac19:
2 = Acdot 3^2 + Bcdot 2^2 = 9cdot19 + 4B = 1 + 4B
Daí
4B = 1 Rightarrow B = 14 .

Passo 5

Com A e B encontrados, escrevemos a equação final do parabolóide:

Resposta

z = 19x^2 + 14y^2

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