Considere as quádricas
e os planos
dados abaixo. Determine a seção plana
. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma quádrica \(x+2){2}+\frac{(y-1){2}}{4}+z^{2}=1\ (um elipsoide centrado em (-2,1,0) com semi-eixos 1,2,1) e o plano z=1/2. Vamos determinar a interseção, que deve ser uma cônica.
Passo 2
Substituímos z=1/2 na equação do elipsoide para obter a seção:
Como
, rearranjamos:
Passo 3
Para pôr na forma padrão de elipse, dividimos ambos os lados por 3/4:
Passo 4
Logo, é uma elipse no plano z=1/2, sem termo misto em x·y, o que indica que os eixos principais são paralelos a ox e oy.
O centro da elipse é C=(-2,1,1/2). Os semi-eixos são
O centro da elipse é C=(-2,1,1/2). Os semi-eixos são
Passo 5
O eixo maior está na direção do eixo y (pois a_y>a_x) e o menor na direção do eixo x.
Para achar os focos usamos c2=a_y2−a_x^2:
Para achar os focos usamos c2=a_y2−a_x^2:
Passo 6
Os focos, situados ao longo do eixo y a partir de C, são:
Resposta
A seção
é uma elipse no plano
dada por:
Principais elementos:
Centro:
Semi-eixo menor: (direção x)
Semi-eixo maior: (direção y)
Focos: e
.
Centro:
Semi-eixo menor:
Semi-eixo maior:
Focos: