Considere as quádricas Q e os planos pi dados abaixo. Determine a seção plana Q cap pi. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
Q:(x+2)^2+(y-1)^24+z^2=1 e pi: z=12.

Passo 1

O enunciado nos dá uma quádrica \(x+2){2}+\frac{(y-1){2}}{4}+z^{2}=1\ (um elipsoide centrado em (-2,1,0) com semi-eixos 1,2,1) e o plano z=1/2. Vamos determinar a interseção, que deve ser uma cônica.

Passo 2

Substituímos z=1/2 na equação do elipsoide para obter a seção:
(x+2)^2+(y-1)^24+l(tfrac12r)^2=1
Como (1/2)^2=1/4, rearranjamos:
(x+2)^2+(y-1)^24=1-14=34

Passo 3

Para pôr na forma padrão de elipse, dividimos ambos os lados por 3/4:
(x+2)^23/4+(y-1)^23=1

Passo 4

Logo, é uma elipse no plano z=1/2, sem termo misto em x·y, o que indica que os eixos principais são paralelos a ox e oy.
O centro da elipse é C=(-2,1,1/2). Os semi-eixos são
ax=raiztfrac34=raiz32, ay=raiz3

Passo 5

O eixo maior está na direção do eixo y (pois a_y>a_x) e o menor na direção do eixo x.
Para achar os focos usamos c2=a_y2−a_x^2:
c^2=3-tfrac34=tfrac94, c=tfrac32

Passo 6

Os focos, situados ao longo do eixo y a partir de C, são:
F1=(-2,,1+tfrac32,,tfrac12)=(-2,2.5,tfrac12), F2=(-2,,1-tfrac32,,tfrac12)=(-2,-0.5,tfrac12)

Resposta

A seção Qcappi é uma elipse no plano z=1/2 dada por:
(x+2)^23/4+(y-1)^23=1
Principais elementos:
Centro: (-2,1,tfrac12)
Semi-eixo menor: ax=tfracraiz32 (direção x)
Semi-eixo maior: ay=raiz3 (direção y)
Focos: F1=(-2,2.5,tfrac12) e F2=(-2,-0.5,tfrac12).

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