1. Achar a equação do plano que contém a reta
\left\{\begin{array}{l} 3 x-4 y+z-12=0 \\\\ 4 x-7 y+3 z+4=0 \end{array}\right.
e passa pela origem.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta dada pela interseção dos planos
3x - 4y + z - 12 = 0
e
4x - 7y + 3z + 4 = 0
e que passa pela origem (0,0,0). O conteúdo é geometria analítica no espaço: equação de plano. Vamos usar o fato de que qualquer plano que contenha essa reta pode ser obtido como combinação linear das duas equações.

Passo 2

Seja
P_1(x,y,z) = 3x - 4y + z - 12,
P_2(x,y,z) = 4x - 7y + 3z + 4.
Então a família de planos que contém a reta de interseção de P_1=0 e P_2=0 é
P_1 + \lambda\,P_2 = 0,
onde \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para que esse plano passe pela origem, basta substituir (x,y,z)=(0,0,0) em
P_1(0,0,0) + \lambda\,P_2(0,0,0) = 0.

Passo 4

Calculando:
P_1(0,0,0) = -12, \quad P_2(0,0,0) = 4,
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-12 + \lambda\cdot 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 3.

Passo 5

Substituindo \lambda=3 em P_1 + \lambda P_2 = 0:
(3x - 4y + z - 12) + 3\,(4x - 7y + 3z + 4) = 0.
Isso dá
3x - 4y + z - 12 + 12x -21y +9z +12 = 0
15x -25y +10z = 0.
Dividindo ambos os lados por 5,
3x - 5y + 2z = 0.

Resposta

A equação do plano é
3x - 5y + 2z = 0.

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