1. Dado o triedro cujas arestas são as retas
\left\{\begin{aligned} x & =2 y=z \\\\ -x & =y=z \\\ x & =-3 y=2 z \end{aligned}\right.
achar as equações dos planos das faces

Passo 1

O enunciado dá um triedro cujas arestas são as retas que passam pela origem com equações simétricas
x = 2y = z, \quad -\,x = y = z, \quad x = -3y = 2z.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: cada reta é determinada por um vetor diretor, e cada face do triedro é o plano que contém duas dessas arestas e a origem. Para achar a equação de cada plano, vamos
1. extrair os vetores diretores das retas,
2. calcular o produto vetorial de dois vetores diretores para obter um vetor normal ao plano,
3. usar a forma \mathbf{n}\cdot (x,y,z)=0 para o plano que passa pela origem.

Passo 2

Extraímos vetores diretores das três retas, interpretando, por exemplo,
x = 2y = z como
x = 2y, \quad 2y = z \;\Longrightarrow\; y = \tfrac{z}{2}, \;x = z.
Tomando parâmetro t=z, um vetor diretor é
\mathbf{v}_1 = (x,y,z) = (t,\tfrac{t}{2},t) = t\,(1,\tfrac{1}{2},1)\sim (2,1,2).
De modo semelhante, em
-x=y=z temos x=-y e y=z, logo tomando y=t obtemos
\mathbf{v}_2 = (-t,t,t)\sim (-1,1,1).
Em
x=-3y=2z temos -3y=2z\Rightarrow y=-\tfrac{2}{3}z e x=2z. Com z=t
\mathbf{v}_3 = (2t,-\tfrac{2}{3}t,t)\sim (6,-2,3).

Passo 3

Cada face é o plano gerado por dois desses vetores na origem. O vetor normal a um plano gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b} é \mathbf{n}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}.
1. Para a face que contém \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2:
\mathbf{n}_{12} = (2,1,2)\times(-1,1,1) = (-1,-4,3) \sim (1,4,-3).
2. Para a face que contém \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_3:
\mathbf{n}_{13} = (2,1,2)\times(6,-2,3) = (7,6,-10).
3. Para a face que contém \mathbf{v}_2 e \mathbf{v}_3:
\mathbf{n}_{23} = (-1,1,1)\times(6,-2,3) = (5,9,-4).

Passo 4

Como cada plano passa pela origem, sua equação é
n_x\,x + n_y\,y + n_z\,z = 0.
Substituindo cada normal:
1. Plano entre \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2:
1\cdot x + 4\cdot y - 3\cdot z = 0.
2. Plano entre \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3:
7\,x + 6\,y -10\,z = 0.
3. Plano entre \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3:
5\,x + 9\,y -4\,z = 0.

Resposta

As equações dos planos das faces do triedro são:
\begin{aligned} x + 4y - 3z &= 0,\\\\ 7x + 6y - 10z &= 0,\\\\ 5x + 9y - 4z &= 0. \end{aligned}

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