1. Achar a equação do plano que passa por P=(1,2,1) e cujo traço com o plano z=0 éa reta
r:\left\{\begin{array}{l} y=3 x-2 \\ z=0 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por P=(1,2,1) e cujo traço com o plano z=0 é a reta
r:\begin{cases} y=3x-2,\\\ z=0. \end{cases}
O conteúdo envolvido é a determinação de um plano a partir de um ponto e de uma reta contida nele: basta encontrar dois vetores não colineares no plano, calcular o vetor normal por produto vetorial e usar a forma ponto-normal da equação do plano.

Passo 2

Escolhemos um ponto qualquer Q sobre a reta r. Tomando x=0 em y=3x-2, obtemos
Q=(0,\,-2,\,0).
O vetor diretor de r é
\vec v = (1,\,3,\,0),
pois ao variar x em uma unidade, y varia em 3 e z permanece 0.

Passo 3

Como o plano deve passar também por P, definimos o vetor
\vec w = \overrightarrow{QP} = P - Q = (1-0,\;2-(-2),\;1-0) = (1,\,4,\,1).

Passo 4

O vetor normal \vec n do plano é dado pelo produto vetorial
\vec n = \vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (3\cdot1 - 0\cdot4)\,\mathbf{i} - (1\cdot1 - 0\cdot1)\,\mathbf{j} + (1\cdot4 - 3\cdot1)\,\mathbf{k} = (3,\,-1,\,1).

Passo 5

Usamos a forma ponto-normal do plano:
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (3,\,-1,\,1)\cdot(x-1,\;y-2,\;z-1)=0.
Expandindo:
3(x-1)-1\,(y-2)+1\,(z-1)=0 \;\Longrightarrow\; 3x-3 -y+2 +z-1=0 \;\Longrightarrow\; 3x - y + z -2 = 0.

Resposta

A equação do plano é
3x - y + z - 2 = 0.

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