1. Achar as equações da reta que passa pelo ponto
\begin{aligned} & P=(2,1,-1) \text { e é perpendicular à reta } \\ & r: X=(2,0,0)+\lambda(3,1,-1) \end{aligned}éà

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por P=(2,1,-1) e é perpendicular à reta
r:\;X=(2,0,0)+\lambda\,(3,1,-1).
O conteúdo é geometria vetorial em \mathbb{R}^3: para achar a reta perpendicular, primeiro encontramos o ponto Q em r tal que o vetor \overrightarrow{PQ} seja ortogonal ao vetor diretor de r. Em seguida, a reta buscada terá direção \overrightarrow{PQ}.

Passo 2

Seja um ponto genérico em r dado por
Q(\lambda) = \bigl(2+3\lambda,\;\lambda,\;-\,\lambda\bigr).
Então
\overrightarrow{PQ} = Q(\lambda) - P = \bigl(2+3\lambda -2,\;\lambda -1,\;-\,\lambda +1\bigr) = \bigl(3\lambda,\;\lambda-1,\;1-\lambda\bigr).

Passo 3

A condição de perpendicularidade é
\overrightarrow{PQ}\,\cdot\,(3,1,-1) \;=\;0.
Substituindo,
(3\lambda)\cdot 3 \;+\;(\lambda-1)\cdot 1 \;+\;(1-\lambda)\cdot(-1) \;=\;9\lambda +\lambda -1 -1 +\lambda \;=\;11\lambda -2 = 0.
Daí
\lambda = \frac{2}{11}.

Passo 4

Com \lambda=\tfrac{2}{11}, o ponto Q vale
Q = \Bigl(2 + 3\cdot\tfrac{2}{11},\;\tfrac{2}{11},\;-\,\tfrac{2}{11}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{28}{11},\;\tfrac{2}{11},\;-\,\tfrac{2}{11}\Bigr).

Passo 5

O vetor direção da reta perpendicular é
\overrightarrow{PQ} = Q - P = \Bigl(\tfrac{28}{11}-2,\;\tfrac{2}{11}-1,\;-\,\tfrac{2}{11}+1\Bigr) = \Bigl(\tfrac{6}{11},\;-\tfrac{9}{11},\;\tfrac{9}{11}\Bigr).
Podemos multiplicar por 11 e simplificar por 3 para obter
\vec d = (2,\,-3,\,3).

Passo 6

Logo, uma forma vetorial da reta buscada é
\ell:\;X = (2,1,-1) + t\,(2,-3,3),\quad t\in\mathbb{R}.
Em forma simétrica,
\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z+1}{3}.

Resposta

\displaystyle X=(2,1,-1)+t\,(2,-3,3)
ou equivalentemente
\displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+1}{3}.

Exercícios relacionados