Achar as equaçõos paramétricas da reta que passa pelo ponto \mathbf{P}=(2,1,-1) e é paralela aos dois planos \pi: \mathrm{X}=\mathrm{X}=(0,0,0)+\lambda(1,1,1)+\mu(3,-1,2) e \pi_{2}: 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+5 \mathrm{z}-2=0.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa por \mathbf{P}=(2,1,-1) e é paralela aos dois planos
\pi_1\colon \mathbf{X}=(0,0,0)+\lambda(1,1,1)+\mu(3,-1,2)
e
\pi_2\colon 2x - y + 5z - 2 = 0.
Para que uma reta seja paralela a um plano, seu vetor diretor deve ser ortogonal ao vetor normal desse plano. Vamos achar os vetores normais de \pi_1 e de \pi_2, impor que o vetor diretor \mathbf{d} da reta seja ortogonal a ambos, resolver o sistema e, por fim, escrever a reta em forma paramétrica.

Passo 2

Encontrar o vetor normal \mathbf{n}_1 de \pi_1 como o produto vetorial dos geradores (1,1,1) e (3,-1,2).
\mathbf{n}_1 \;=\;(1,1,1)\times(3,-1,2) \;=\;\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} \;=\;(1\cdot2 - 1\cdot(-1))\,\mathbf{i} \;-\;(1\cdot2 - 1\cdot3)\,\mathbf{j} \;+\;(1\cdot(-1) - 1\cdot3)\,\mathbf{k} \;=\;(3,\,1,\,-4).

Passo 3

O vetor normal de \pi_2 é dado diretamente pelos coeficientes de x,y,z na equação
\pi_2\colon 2x - y + 5z - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{n}_2 = (2,\,-1,\,5).

Passo 4

O vetor diretor \mathbf{d}=(d_x,d_y,d_z) da reta deve satisfazer
\mathbf{d}\cdot \mathbf{n}_1 = 0 \quad\text{e}\quad \mathbf{d}\cdot \mathbf{n}_2 = 0,
isto é,
3d_x + 1d_y - 4d_z = 0, \quad 2d_x -1d_y +5d_z = 0.

Passo 5

Resolver o sistema
\begin{cases} 3d_x + d_y - 4d_z = 0,\\\\ 2d_x - d_y + 5d_z = 0. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar d_y:
(3d_x + d_y -4d_z) + (2d_x - d_y +5d_z) = 0 \;\Longrightarrow\; 5d_x + d_z = 0 \;\Longrightarrow\; d_z = -5d_x.
Substituindo em 3d_x + d_y -4d_z = 0:
3d_x + d_y -4(-5d_x)=0 \;\Longrightarrow\; 3d_x + d_y +20d_x =0 \;\Longrightarrow\; d_y = -23d_x.
Escolhendo d_x=1, obtemos
\mathbf{d} = (1,\,-23,\,-5).

Passo 6

Com ponto \mathbf{P}=(2,1,-1) e vetor diretor \mathbf{d}=(1,-23,-5), as equações paramétricas da reta são
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = 1 - 23\,t,\\\ z = -1 - 5\,t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{x=2+t,\quad y=1-23t,\quad z=-1-5t,\quad t\in\mathbb{R}.}

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