Achar as equaçõos paramétricas da reta que passa pelo ponto \mathbf{P}=(2,1,-1) e é paralela aos dois planos \pi: \mathrm{X}=\mathrm{X}=(0,0,0)+\lambda(1,1,1)+\mu(3,-1,2) e \pi_{2}: 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+5 \mathrm{z}-2=0.
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa por \mathbf{P}=(2,1,-1) e é paralela aos dois planos \pi_1\colon \mathbf{X}=(0,0,0)+\lambda(1,1,1)+\mu(3,-1,2)
e \pi_2\colon 2x - y + 5z - 2 = 0.
Para que uma reta seja paralela a um plano, seu vetor diretor deve ser ortogonal ao vetor normal desse plano. Vamos achar os vetores normais de \pi_1 e de \pi_2, impor que o vetor diretor \mathbf{d} da reta seja ortogonal a ambos, resolver o sistema e, por fim, escrever a reta em forma paramétrica.
Passo 2
Encontrar o vetor normal \mathbf{n}_1 de \pi_1 como o produto vetorial dos geradores (1,1,1) e (3,-1,2).