Achar os limites das seguintes funções:
\lim _{(x ; y) \rightarrow(0 ; 0)} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x-y}{x^2+y^2}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis; para verificar existência, vamos analisar diferentes trajetórias de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Considere o caminho y=x. Nesse caso,
\frac{x-y}{x^2+y^2} =\frac{x-x}{x^2+x^2} =\frac{0}{2x^2} =0.
Logo, ao longo de y=x, o valor da expressão tende a 0.

Passo 3

Considere agora o caminho y=0. Temos
\frac{x-0}{x^2+0^2} =\frac{x}{x^2} =\frac{1}{x}.
Quando x\to0^+, isso tende a +\infty, e quando x\to0^-, tende a -\infty. Portanto, ao longo de y=0 o comportamento é divergente.

Passo 4

Como ao escolher caminhos distintos obtemos resultados diferentes (um valor finito e comportamentos que divergem), concluímos que não existe um único limite comum.

Resposta

O limite não existe.

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