Achar os limites das seguintes funções:
\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\\ y \rightarrow \infty}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{\substack{x\to\infty\y\to\infty}}\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo envolve limites de função de duas variáveis no infinito e aplicaremos o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”) usando estimativas de grau de polinômio.

Passo 2

Para x,y suficientemente grandes (positivos), temos
0 \;\le\; x+y \;\le\; 2\max(x,y),
e
x^{2}+y^{2}\;\ge\;\max(x,y)^{2}.
Logo,
0 \;\le\;\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \;\le\;\frac{2\max(x,y)}{\max(x,y)^{2}} \;=\;\frac{2}{\max(x,y)}.

Passo 3

Como \max(x,y)\to\infty quando x,y\to\infty, segue que
\frac{2}{\max(x,y)}\;\longrightarrow\;0.
Pelo Teorema do Confronto, concluímos que
\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

0

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