5 Achar as raízes de P(x)=24 x-52 x^{2}+34 x^{3}-3 x^{4}-4 x^{5}+x^{6}=0 e, em seguida, obtenha a forma fatorada do polinômio P(x).

Passo 1

O enunciado pede as raízes de
P(x)=24x - 52x^{2} + 34x^{3} - 3x^{4} - 4x^{5} + x^{6}
e, em seguida, sua forma fatorada. O conteúdo principal é encontrar raízes racionais, usando o Teorema das Raízes Racionais, e aplicar divisões sintéticas para reduzir o grau.

Passo 2

Como todos os termos têm x em comum, fatoramos
P(x)=x\bigl(x^{5}-4x^{4}-3x^{3}+34x^{2}-52x+24\bigr)
Logo, x=0 é uma raiz e sobra o polinômio
Q(x)=x^{5}-4x^{4}-3x^{3}+34x^{2}-52x+24\,.

Passo 3

Pelas raízes possíveis \pm1, \pm2, \pm3, \dots,\pm24, testamos x=1:
Q(1)=1-4-3+34-52+24=0,
logo x=1 é raiz. Dividindo Q(x) por (x-1) por sintética, obtemos
Q(x)=(x-1)\bigl(x^{4}-3x^{3}-6x^{2}+28x-24\bigr).

Passo 4

No quártico R(x)=x^{4}-3x^{3}-6x^{2}+28x-24, testamos x=2:
R(2)=16-24-24+56-24=0,
logo x=2 é raiz. Dividindo por (x-2), aparece
R(x)=(x-2)\bigl(x^{3}-x^{2}-8x+12\bigr).

Passo 5

No cúbico S(x)=x^{3}-x^{2}-8x+12, testamos x=2:
S(2)=8-4-16+12=0,
então x=2 é raiz dupla. Dividindo por (x-2), resta
S(x)=(x-2)\bigl(x^{2}+x-6\bigr),
e x^{2}+x-6 fatora como (x+3)(x-2).

Passo 6

Reunindo todos os fatores, temos
P(x)=x\,(x-1)\,(x-2)\,(x-2)\,(x-2)\,(x+3) \;=\;x\,(x-1)\,(x-2)^{3}\,(x+3).
As raízes são
x=0,\;x=1,\;x=2\\ (\text{multiplicidade }3),\;x=-3.

Resposta

As raízes de P(x)=0 são
x=0,\quad x=1,\quad x=2\\ (\text{mult. }3),\quad x=-3
e a forma fatorada é
P(x)=x\,(x-1)\,(x-2)^{3}\,(x+3).

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