- Considere um circuito elétrico em série
com
(henries),
(farads) e bateria fornecendo
(volts). Suponha que o circuito está inicialmente passivo (desligado e sem carga). No instante
o interruptor é fechado, e no instante
ele é aberto e deixado aberto.
(a) Mostre que este circuito satisfaz o problema de valor inicial
(b) Encontre a corrente
no circuito no instante $t.
(a) Mostre que este circuito satisfaz o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado descreve um circuito série
com
,
e fonte
. O interruptor fecha em
e abre em
, deixando o circuito livre. Vamos usar a Lei de Kirchhoff de tensões e a relação
para obter a equação diferencial, e em seguida resolver para a carga
e a corrente
.
Passo 2
Pela Lei de Kirchhoff de tensões no loop, para todo
,
onde
é o degrau unitário em
. Como
e
, e com
,
,
, obtemos
As condições iniciais são
(capacitor descarregado) e
(corrente nula). Assim chegamos ao PVI
Passo 3
Para
temos
, a EDO é
Procuramos solução geral
.
– Homogênea:
– Particular constante:
Logo
– Homogênea:
– Particular constante:
Logo
Impondo
e
:
Assim
Passo 4
Para
o degrau vale
, a EDO fica homogênea:
A solução geral é
Impondo continuidade em
:
Dessas duas equações resolve-se para
e
, encontrando
Logo
e
Resposta
A corrente no circuito é