Achar a resistência elétrica a 200 C de um fio de liga nicromo de \mathbf{1 , 0 m} de comprimento, e seção reta de \mathbf{2 , 0 5} \mathrm{mm}^{2}. Considere a resistividade do nicromo a 20^{\circ} \mathrm{C} igual a \mathbf{1 00} \boldsymbol{\times} \mathbf{1 0}^{-\mathbf{8}} \mathbf{\Omega} \boldsymbol{\times} m.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: comprimento do fio L = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Dado: seção reta A = 2{,}05\\ \mathrm{mm}^2.
  • Dado: resistividade do nicromo a 20^\circ\mathrm{C}: \rho_{20} = 100 \times 10^{-8}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}.
  • Pedido: achar a resistência elétrica do fio à temperatura 200^\circ\mathrm{C}.
Observações de leitura do enunciado (claras e sem resolver ainda):
  • É preciso ajustar a resistividade de 20^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C} (ou seja, usar a dependência com a temperatura).
  • Depois usar a fórmula que relaciona resistência, resistividade, comprimento e área.

Passo 2

Converter os dados para unidades SI e simplificar os valores dados.
  • Converter \rho_{20}:
\rho_{20} = 100\times10^{-8}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m} = 1{,}00\times10^{-6}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}.
  • Converter a área de \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2:
A = 2{,}05\\ \mathrm{mm}^2 = 2{,}05\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
  • O comprimento já está em SI: L = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: para passar de \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2 multiplica-se por 10^{-6} porque 1\\ \mathrm{mm}^2 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Fórmula da resistência e interpretação das grandezas.
  • A resistência elétrica de um fio homogêneo é dada por:
R = \frac{\rho\,L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}),
  • L é o comprimento do fio (em \mathrm{m}),
  • A é a área da secção transversal (em \mathrm{m}^2).
Explicação didática: resistividade \rho mede quanto o material “resiste” ao fluxo de corrente por unidade de geometria; quanto maior \rho ou L, maior R; quanto maior a área A, menor R.

Passo 4

Como varia a resistividade com a temperatura: fórmula e escolha do coeficiente térmico.
  • Para metais e ligas numa faixa de temperatura moderada, usa-se a aproximação linear:
\rho(T) = \rho(T_0)\,\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr],
onde:
  • \rho(T_0) é a resistividade conhecida numa temperatura de referência T_0,
  • \alpha é o coeficiente de temperatura da resistividade (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • T é a temperatura alvo.
  • O enunciado não informou \alpha. Quando isso acontece em exercícios, assume-se um valor típico da liga pedida. Para nicromo (liga muito usada em resistências), um valor comumente adotado em exercícios é
\alpha = 4{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Justificativa curta e prática: nicromo tem coeficiente pequeno e positivo; usar \alpha=4{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} é uma escolha padrão razoável para cálculo pedagógico. Se a sua prova/dados usarem outro \alpha, troque esse número no mesmo procedimento.

Passo 5

Calcular a resistividade do nicromo a 200^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula com T_0=20^\circ\mathrm{C}, T=200^\circ\mathrm{C} e \alpha=4{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
\rho_{200} = \rho_{20}\bigl[1 + \alpha(200-20)\bigr].
  • Substituindo os valores:
\rho_{200} = 1{,}00\times10^{-6}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}\;\bigl[1 + 4{,}0\times10^{-4}\times180\bigr].
  • Calcular a parte entre colchetes:
1 + 4{,}0\times10^{-4}\times180 = 1 + 0{,}072 = 1{,}072.
  • Portanto
\rho_{200} = 1{,}00\times10^{-6}\times1{,}072 = 1{,}072\times10^{-6}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}.
Explicação intuitiva: a resistividade aumentou cerca de 7{,}2\% ao subir de 20^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a resistência do fio a 200^\circ\mathrm{C} usando R=\dfrac{\rho_{200}L}{A}.
  • Substituindo:
R_{200} = \frac{1{,}072\times10^{-6}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}\times 1{,}0\\ \mathrm{m}}{2{,}05\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2}.
  • Simplificando os fatores 10^{-6}:
R_{200} = \frac{1{,}072}{2{,}05}\\ \Omega.
  • Fazendo a divisão (passo a passo):
\frac{1{,}072}{2{,}05} \approx 0{,}523902439\\ \Omega.
  • Arredondando de forma habitual para três algarismos significativos:
R_{200} \approx 0{,}524\\ \Omega.
Comentário de verificação rápida: se não considerássemos o aumento com a temperatura (ou seja, usássemos \rho_{20} direto), teríamos R\approx 1{,}00/2{,}05\approx0{,}488\\ \Omega. Assim o aquecimento aumentou R em cerca de 7{,}2\%, consistente com o aumento de \rho.

Resposta

R_{200} \approx 0{,}524\\ \Omega

Exercícios relacionados