4 Achar a rigidez de uma mola helicoidal com N espiras ativas, diâmetro do arame d, raio médio da espira R, módulo de elasticidade transversal G, quando submetida a uma carga axial F.
Obs.: obter o valor da deformação da mola em livros de Resistência dos Materiais ou de Elementos de Máquinas.
Resp.: \mathrm{k}=\frac{\mathrm{Gd}^{4}}{64 \mathrm{nR}^{3}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de espiras ativas: N.
    • Diâmetro do arame: d.
    • Raio médio da espira: R (logo o diâmetro médio da espira é D=2R).
    • Módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento): G.
    • Carga axial aplicada na mola: F.
  • O que o enunciado pede:
    • A rigidez (constante elástica) da mola helicoidal, ou seja a constante k tal que a deformação axial da mola \delta satisfaça \delta=F/k.
Observação: a solução padrão para molas helicoidais próximas (pequeno passo entre espiras) resulta da teoria da torção em uma varinha circular (a torção do arame produz a deformação axial da mola). Vou usar isso para deduzir \delta e então obter k.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Torção de um eixo circular: quando um eixo de comprimento L e momento polar de inércia da seção transversal J é submetido a um torque T, o ângulo de torção total \varphi (em radianos) é dado por
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde G é o módulo de cisalhamento. Explicando cada termo:
  • T é o torque (momento torsor) aplicado [unidade: N·m].
  • L é o comprimento ao longo do eixo em que a torção age [m].
  • G é o módulo de cisalhamento do material [Pa].
  • J é o momento polar de inércia da seção circular; para um fio circular de diâmetro d vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Essa fórmula relaciona quanto um cilindro torce sob um torque.
  • Intuição geométrica na mola helicoidal:
    • Cada volta da mola (cada espira) tem comprimento do fio aproximadamente igual a uma volta de circunferência de raio R, ou seja comprimento por espira \ell = 2\pi R (vamos assumir mola de passo pequeno, hipótese usual).
    • A carga axial F aplicada no eixo da mola cria em cada seção do arame um torque T igual a F vezes o braço R. Explicando: se puxamos axialmente, o arame é “forçado” a transferir essa força via polarização circular, o efeito interno equivale a um torque T=F\cdot R no fio.
    • A torção acumulada ao longo de uma espira produz uma rotação da seção do fio; essa rotação, por geometria da hélice, corresponde a um deslocamento axial da extremidade da espira. Para mola de passo pequeno (espiras próximas), a relação entre a rotação total de uma espira \varphi e o deslocamento axial produzido por essa espira pode ser aproximada por
\delta_{\text{uma espira}} \approx R\,\varphi.
Vou justificar essa relação no próximo passo.

Passo 3

Justificando a relação entre torção e deslocamento axial por espira:
  • Uma espira é praticamente uma circunferência de raio R. Se o fio é torcido ao longo de seu comprimento por um ângulo total \varphi, as seções transversais giram de \varphi rad. Para uma hélice de passo pequeno, essa rotação da seção do fio implica que a posição axial correspondente à mesma marca na espira muda aproximadamente de \Delta z \approx R\varphi. Intuição simples: uma rotação \varphi leva um ponto da circunferência a percorrer um arco de comprimento R\varphi; projetando esse movimento na direção axial da hélice, para passo pequeno resulta aproximação linear direta proporcional a R\varphi. Esta é a hipótese clássica para molas de arame circular com passo pequeno e é a que leva à fórmula clássica usada em Elementos de Máquinas / Resistência dos Materiais.
Portanto, para cada espira:
\delta_{1} = R\,\varphi,
onde \varphi é o ângulo de torção do fio ao longo do comprimento de uma espira.

Passo 4

Calcular a torção por espira:
  • Torque no fio devido à carga axial:
T = F\,R.
  • Comprimento do fio por espira:
\ell = 2\pi R.
  • Ângulo de torção em uma espira (pela fórmula da torção):
\varphi=\frac{T\,\ell}{G\,J}=\frac{(F\,R)\,(2\pi R)}{G\,J}=\frac{2\pi F R^{2}}{G\,J}\cdot R = \frac{2\pi F R^{2}}{G\,J}\cdot R\\ \text{(reorganizando)}.
Mas mantenhamos em forma simples:
\varphi=\frac{T\,\ell}{G\,J}=\frac{F\,R\cdot 2\pi R}{G\,J}=\frac{2\pi F R^{2}}{G\,J}\,.

Passo 5

Calcular a deformação axial por espira e total:
  • Deformação axial por uma espira, usando \delta_{1}=R\varphi:
\delta_{1}=R\varphi=R\cdot\frac{2\pi F R^{2}}{G\,J}=\frac{2\pi F R^{3}}{G\,J}.
  • Como há N espiras ativas e cada uma contribui praticamente igual, a deformação total é
\delta = N\,\delta_{1}=N\cdot\frac{2\pi F R^{3}}{G\,J}=\frac{2\pi N F R^{3}}{G\,J}.

Passo 6

Substituir J e simplificar:
  • Substituindo J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} em \delta:
\delta=\frac{2\pi N F R^{3}}{G\,\left(\dfrac{\pi d^{4}}{32}\right)} =\frac{2\pi N F R^{3}\cdot 32}{G\,\pi d^{4}} =\frac{64\,N F R^{3}}{G\,d^{4}}.
  • Assim a deformação axial da mola sob carga F é
\delta=\frac{64\,N F R^{3}}{G\,d^{4}}.
Observação: esta é exatamente a expressão encontrada em livros de Resistência dos Materiais / Elementos de Máquinas para molas helicoidais de arame circular (hipótese de espiras próximas / pequeno passo).

Passo 7

Obter a rigidez k:
  • A rigidez é k=F/\delta. Invertendo a expressão anterior:
k=\frac{F}{\delta}=\frac{F}{\dfrac{64\,N F R^{3}}{G\,d^{4}}} =\frac{G\,d^{4}}{64\,N R^{3}}.
  • Alternativamente, escrevendo em termos do diâmetro médio da espira D=2R, esta fórmula fica
k=\frac{G d^{4}}{8\,D^{3}N},
que é a forma frequentemente encontrada na literatura (teste rápido: substituindo D=2R em 8D^{3}N 8(2R)^{3}N=64 N R^{3}, igual ao denominador anterior).

Resposta

k=\frac{G\,d^{4}}{64\,N\,R^{3}}

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