4 Achar a rigidez de uma mola helicoidal com
espiras ativas, diâmetro do arame
, raio médio da espira
, módulo de elasticidade transversal
, quando submetida a uma carga axial F.
Obs.: obter o valor da deformação da mola em livros de Resistência dos Materiais ou de Elementos de Máquinas.
Resp.:
Obs.: obter o valor da deformação da mola em livros de Resistência dos Materiais ou de Elementos de Máquinas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Número de espiras ativas:
. - Diâmetro do arame:
. - Raio médio da espira:
(logo o diâmetro médio da espira é ). - Módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento):
. - Carga axial aplicada na mola:
.
- Número de espiras ativas:
-
O que o enunciado pede:
- A rigidez (constante elástica) da mola helicoidal, ou seja a constante
tal que a deformação axial da mola satisfaça .
- A rigidez (constante elástica) da mola helicoidal, ou seja a constante
Observação: a solução padrão para molas helicoidais próximas (pequeno passo entre espiras) resulta da teoria da torção em uma varinha circular (a torção do arame produz a deformação axial da mola). Vou usar isso para deduzir
e então obter
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
- Torção de um eixo circular: quando um eixo de comprimento
e momento polar de inércia da seção transversal é submetido a um torque , o ângulo de torção total (em radianos) é dado por
onde
é o módulo de cisalhamento. Explicando cada termo:
-
é o torque (momento torsor) aplicado [unidade: N·m]. -
é o comprimento ao longo do eixo em que a torção age [m]. -
é o módulo de cisalhamento do material [Pa]. -
é o momento polar de inércia da seção circular; para um fio circular de diâmetro vale
Essa fórmula relaciona quanto um cilindro torce sob um torque.
- Intuição geométrica na mola helicoidal:
- Cada volta da mola (cada espira) tem comprimento do fio aproximadamente igual a uma volta de circunferência de raio
, ou seja comprimento por espira (vamos assumir mola de passo pequeno, hipótese usual). - A carga axial
aplicada no eixo da mola cria em cada seção do arame um torque igual a vezes o braço . Explicando: se puxamos axialmente, o arame é “forçado” a transferir essa força via polarização circular, o efeito interno equivale a um torque no fio. - A torção acumulada ao longo de uma espira produz uma rotação da seção do fio; essa rotação, por geometria da hélice, corresponde a um deslocamento axial da extremidade da espira. Para mola de passo pequeno (espiras próximas), a relação entre a rotação total de uma espira
e o deslocamento axial produzido por essa espira pode ser aproximada por
- Cada volta da mola (cada espira) tem comprimento do fio aproximadamente igual a uma volta de circunferência de raio
Vou justificar essa relação no próximo passo.
Passo 3
Justificando a relação entre torção e deslocamento axial por espira:
- Uma espira é praticamente uma circunferência de raio
. Se o fio é torcido ao longo de seu comprimento por um ângulo total , as seções transversais giram de rad. Para uma hélice de passo pequeno, essa rotação da seção do fio implica que a posição axial correspondente à mesma marca na espira muda aproximadamente de . Intuição simples: uma rotação leva um ponto da circunferência a percorrer um arco de comprimento ; projetando esse movimento na direção axial da hélice, para passo pequeno resulta aproximação linear direta proporcional a . Esta é a hipótese clássica para molas de arame circular com passo pequeno e é a que leva à fórmula clássica usada em Elementos de Máquinas / Resistência dos Materiais.
Portanto, para cada espira:
onde
é o ângulo de torção do fio ao longo do comprimento de uma espira.
Passo 4
Calcular a torção por espira:
- Torque no fio devido à carga axial:
- Comprimento do fio por espira:
- Ângulo de torção em uma espira (pela fórmula da torção):
Mas mantenhamos em forma simples:
Passo 5
Calcular a deformação axial por espira e total:
- Deformação axial por uma espira, usando
:
- Como há
espiras ativas e cada uma contribui praticamente igual, a deformação total é
Passo 6
Substituir
e simplificar:
- Substituindo
em :
- Assim a deformação axial da mola sob carga
é
Observação: esta é exatamente a expressão encontrada em livros de Resistência dos Materiais / Elementos de Máquinas para molas helicoidais de arame circular (hipótese de espiras próximas / pequeno passo).
Passo 7
Obter a rigidez
:
- A rigidez é
. Invertendo a expressão anterior:
- Alternativamente, escrevendo em termos do diâmetro médio da espira
, esta fórmula fica
que é a forma frequentemente encontrada na literatura (teste rápido: substituindo
em
dá
, igual ao denominador anterior).