2 Representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior no Espaço de Estados.
Passo 1
O enunciado pede: representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior no Espaço de Estados.
Informações que o enunciado me deu agora: nenhuma do exercício anterior (o exercício anterior não foi fornecido).
Consequência imediata: não há dados específicos (equações do sistema, função de transferência, diagrama, parâmetros físicos, ordem do sistema, variáveis de entrada/saída ou ponto de equilíbrio) suficientes para construir matrizes de Espaço de Estados concretas.
Passo 2
Por que isso importa: para representar um sistema no Espaço de Estados é necessário ter um modelo do sistema em alguma forma utilizável. Aqui estão os tipos de dados que permitem construir a representação em Espaço de Estados (essa lista também serve para você checar o exercício anterior):
Equação diferencial linear de ordem n que relaciona a saída y(t) e a entrada u(t), por exemplo
a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 \dot y + a_0 y = b_m u^{(m)} + \cdots + b_0 u.
Função de transferência \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} com polinômios do numerador e denominador conhecidos.
Modelo físico (leis de Newton, KCL/KVL, balanços) que forneça equações diferenciais ou equações de estado diretamente.
Modelo não linear (equações \dot x = f(x,u), y=g(x,u)) e, se necessário, ponto de operação para linearizar.
Também é preciso saber qual é a variável de entrada u e qual é a saída y, e se existem múltiplas entradas/saídas.
Passo 3
Como montar o Espaço de Estados a partir de uma equação diferencial linear (método direto) — receita passo a passo com explicação didática:
Suponha uma equação linear de ordem n
a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 \dot y + a_0 y = b_0 u
(para simplificar mostro o caso em que o numerador tem ordem menor que n; se tiver maior, primeiro divida polinômios).
2) Escolha os estados como derivadas consecutivas da saída:
Explicação: cada x_i é uma variável de primeira ordem; transformar uma única equação de ordem n num sistema de n equações de primeira ordem é a essência do Espaço de Estados.
3) Escreva as equações de derivada dos estados (forma canônica controlável / companion):
(ou, se o numerador for diferente, y será combinação linear dos x_i e possivelmente de u).
5) Agrupar em forma matricial \dot x = A x + B u, y = C x + D u, onde a matriz A na forma companion tem linhas de deslocamento e a última linha com os coeficientes -a_{i}/a_n; B é zero exceto o último elemento \frac{b_0}{a_n}; C seleciona x_1.
Passo 4
Exemplo concreto (muito útil para prova): massa-mola-amortecedor com equação
m\ddot y + c\dot y + k y = u,
onde u é força aplicada, y é posição. Passos:
Divida por m:
\ddot y + \frac{c}{m}\dot y + \frac{k}{m} y = \frac{1}{m} u.
\dot x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -\tfrac{k}{m} & -\tfrac{c}{m} \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\\ \tfrac{1}{m} \end{pmatrix} u,
y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} u.
Comentário didático: essa é a forma que geralmente o professor espera — escolha de estados óbvios (posição e velocidade), e então escreva primeiras ordens. Guarde este padrão: segunda ordem → matriz 2\times2 com estrutura tri-diagonal de deslocamento.
Passo 5
Converter a partir de uma função de transferência (método rápido e útil em provas):
Seja \displaystyle G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0 s^{m}+\cdots+b_m}{a_0 s^{n}+\cdots+a_n}, assumindo n\ge m (caso contrário dividir primeiro para separar termo polinomial).
Coloque na forma canônica controlável. Por exemplo, para um caso típico de ordem n com denominador normalizado s^n + \alpha_{n-1} s^{n-1} + \cdots + \alpha_0 e numerador \beta_{n-1} s^{n-1} + \cdots + \beta_0, a forma controlável resulta em
Matriz C e D dependem dos coeficientes do numerador; há regras diretas para preenchê-las (ver ex. abaixo).
3) Exemplo rápido: \displaystyle G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}. A forma de estado (usando x_1=y,\;x_2=\dot y) é idêntica ao exemplo massa-mola com k/m=\omega_n^2 e c/m = 2\zeta\omega_n.
Passo 6
Modelos físicos e escolha inteligente de estados:
Em sistemas mecânicos, escolha frequentemente posições e velocidades (ou momento linear) como estados. Em circuitos, use tensões em capacitores e correntes em indutores.
Regra prática: escolha variáveis que tornam as leis (Newton, KCL, KVL) em equações de primeira ordem. Exemplo rápido de RLC série com entrada de tensão u: estados x_1 = tensão no capacitor v_C, x_2 = corrente i no indutor; escrever KCL/KVL fornece \dot x diretamente.
Passo 7
Quando o sistema é não linear — linearização no ponto de equilíbrio (padrão em provas):
Se o modelo for
\dot x = f(x,u),\qquad y = g(x,u),
e (x_0,u_0) for ponto de equilíbrio (isto é f(x_0,u_0)=0), a linearização é
\delta\dot x = A\,\delta x + B\,\delta u,\qquad \delta y = C\,\delta x + D\,\delta u,
onde
A = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,u_0)},\quad B = \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(x_0,u_0)},\quad C = \left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x_0,u_0)},\quad D = \left.\frac{\partial g}{\partial u}\right|_{(x_0,u_0)}.
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -\tfrac{g}{L} & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 8
Conceitos importantes de verificação (o que o professor pode cobrar depois de montar A,B,C,D):
Controlabilidade: matriz de controlabilidade
\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}
tem rank n para o sistema ser totalmente controlável.
Observabilidade: matriz de observabilidade
\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\\ CA \\\ CA^2 \\\ \vdots \\\ CA^{n-1} \end{bmatrix}
tem rank n para o sistema ser totalmente observável.
Essas verificações são rotineiras em provas e não exigem calculadora em casos pequenos (2×2, 3×3).
Passo 9
Resumo prático, passo a passo que você deve aplicar ao exercício anterior assim que recuperá-lo:
Identificar se o exercício fornece uma equação diferencial, uma função de transferência, um modelo físico ou um sistema não linear.
Se for equação diferencial: escolha estados como y, \dot y, \ldots, y^{(n-1)} e monte a forma companion.
Se for função de transferência: normalize o denominador e construa a forma controlável (companion).
Se for modelo físico: escolha variáveis de energia (posições/velocidades, tensões/correntes) e escreva as equações de primeira ordem.
Se for não linear e pedir linearização: encontre o ponto de equilíbrio e calcule as jacobianas para obter A,B,C,D.
Ao final, cheque controlabilidade/observabilidade se for pedido.
Passo 10
Conclusão direta para este pedido específico: não é possível fornecer as matrizes \,A,B,C,D numéricas ou simbólicas do exercício anterior porque esse enunciado (com as equações ou dados necessários) não foi fornecido aqui. O que eu fiz acima foi entregar um manual passo-a-passo, com exemplos e fórmulas, para que você aplique ao exercício anterior assim que tiver as equações ou a função de transferência à mão. Estou contigo — manda o enunciado do exercício anterior (ou copie aqui as equações/função de transferência/diagrama) e eu monto o Espaço de Estados detalhadamente, passo a passo, e checo controlabilidade/observabilidade pra prova.
Resposta
Não é possível representar o modelo no Espaço de Estados porque o enunciado do exercício anterior (equações, função de transferência, parâmetros ou diagrama) não foi fornecido; é necessário esse modelo para construir as matrizes A, B, C e D.