3 Representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior na forma de Função de Transferência.
Resp.: G(s)=\frac{1}{m s^{2}+c s}

Passo 1

O enunciado pede: representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior na forma de Função de Transferência. O enunciado anterior (pela resposta fornecida) indica que o sistema tem parâmetros m e c e que a função de transferência procurada é
G(s)=\frac{1}{m s^{2}+c s}.
Informações relevantes que vamos usar (presa no enunciado e inferíveis do tipo de sistema):
  • Há um parâmetro de massa m (positivo) e um parâmetro de amortecimento c (positivo).
  • O sistema é do tipo massa-amortecedor sem mola (modelo clássico): a entrada é uma força F(t) e a saída é o deslocamento x(t).
  • Queremos a Função de Transferência G(s) definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada sob condições iniciais nulas:
G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}\quad\text{com condições iniciais }x(0)=0,\;x'(0)=0.çõ

Passo 2

Lembrando qual é a equação diferencial do sistema massa-amortecedor (sem mola). Pela 2ª Lei de Newton, somando forças:
  • A inércia gera uma força m\,\ddot{x}(t) que se opõe à aceleração.
  • O amortecedor fornece uma força de arrasto proporcional à velocidade, igual a c\,\dot{x}(t) (sinal oposto ao movimento).
  • A entrada externa é a força aplicada F(t).
    Logo a equação diferencial que relaciona entrada e saída é
m\,\ddot{x}(t)+c\,\dot{x}(t)=F(t).
Aqui:
  • \ddot{x}(t) é a segunda derivada do deslocamento x(t) em relação ao tempo (aceleração).
  • \dot{x}(t) é a primeira derivada (velocidade).
  • m e c são constantes positivas.

Passo 3

O que é Função de Transferência e como vamos obtê-la:
  • A Função de Transferência G(s) é definida por
G(s)=\frac{X(s)}{F(s)},
onde X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e F(s)=\mathcal{L}\{F(t)\} são as transformadas de Laplace da saída e da entrada, respectivamente.
  • Para encontrar G(s) tomamos a transformada de Laplace da equação diferencial, assumindo condições iniciais nulas ( x(0)=0 e \dot{x}(0)=0). Isso é padrão quando se obtém a função de transferência, porque ela descreve a relação dinâmica pura do sistema sem efeitos de condições iniciais.

Passo 4

Propriedades da transformada de Laplace que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Se x(t) tem transformada X(s), então a transformada de \dot{x}(t) é
\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\}=s\,X(s)-x(0).
  • A transformada de \ddot{x}(t) é
\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\}=s^{2}X(s)-s\,x(0)-\dot{x}(0).
Essas fórmulas vêm do fato de que a derivada no tempo corresponde a multiplicação por s no domínio de Laplace, com correções relativas às condições iniciais.

Passo 5

Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial e impor condições iniciais nulas. Tomando \mathcal{L}\{\cdot\} em
m\,\ddot{x}(t)+c\,\dot{x}(t)=F(t)
obtemos, usando as propriedades do passo anterior:
m\bigl(s^{2}X(s)-s\,x(0)-\dot{x}(0)\bigr)+c\bigl(s\,X(s)-x(0)\bigr)=F(s).
Agora impondo x(0)=0 e \dot{x}(0)=0, as parcelas com condições iniciais desaparecem, ficando:
m\,s^{2}X(s)+c\,s\,X(s)=F(s).

Passo 6

Isolar X(s) e formar a Função de Transferência. Na expressão
\bigl(m\,s^{2}+c\,s\bigr)X(s)=F(s),
dividindo ambos os lados por F(s) e por \bigl(m\,s^{2}+c\,s\bigr) obtemos
\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{m\,s^{2}+c\,s}.
Portanto a Função de Transferência do sistema (entrada: força F; saída: deslocamento x) é exatamente
G(s)=\frac{1}{m\,s^{2}+c\,s}.

Passo 7

Interpretação prática e formas equivalentes (úteis na prova):
  • Pode-se fatorar s no denominador:
G(s)=\frac{1}{s\,(m\,s+c)}.
Isso mostra explicitamente que há um pó em s=0 (integrador) e um pó em s=-\tfrac{c}{m} (decrescente real). Em muitos exercícios é útil escrever dessa forma para identificar polos e comportamento em baixa e alta frequência.
  • Lembre-se: a derivação acima assume condições iniciais nulas; se houver condições iniciais não nulas, essas contribuições aparecem nas transformadas e não fazem parte da função de transferência pura. Na prova, ao pedir função de transferência, sempre use condições iniciais nulas.

Resposta

G(s)=\frac{1}{m\,s^{2}+c\,s}

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