3 Representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior na forma de Função de Transferência.
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede: representar o modelo matemático do sistema do exercício anterior na forma de Função de Transferência. O enunciado anterior (pela resposta fornecida) indica que o sistema tem parâmetros
e
e que a função de transferência procurada é
Informações relevantes que vamos usar (presa no enunciado e inferíveis do tipo de sistema):
- Há um parâmetro de massa
(positivo) e um parâmetro de amortecimento (positivo). - O sistema é do tipo massa-amortecedor sem mola (modelo clássico): a entrada é uma força
e a saída é o deslocamento . - Queremos a Função de Transferência
definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada sob condições iniciais nulas:
Passo 2
Lembrando qual é a equação diferencial do sistema massa-amortecedor (sem mola). Pela 2ª Lei de Newton, somando forças:
- A inércia gera uma força
que se opõe à aceleração. - O amortecedor fornece uma força de arrasto proporcional à velocidade, igual a
(sinal oposto ao movimento). - A entrada externa é a força aplicada
.
Logo a equação diferencial que relaciona entrada e saída é
Aqui:
-
é a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo (aceleração). -
é a primeira derivada (velocidade). -
e são constantes positivas.
Passo 3
O que é Função de Transferência e como vamos obtê-la:
- A Função de Transferência
é definida por
onde
e
são as transformadas de Laplace da saída e da entrada, respectivamente.
- Para encontrar
tomamos a transformada de Laplace da equação diferencial, assumindo condições iniciais nulas ( e ). Isso é padrão quando se obtém a função de transferência, porque ela descreve a relação dinâmica pura do sistema sem efeitos de condições iniciais.
Passo 4
Propriedades da transformada de Laplace que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Se
tem transformada , então a transformada de é
- A transformada de
é
Essas fórmulas vêm do fato de que a derivada no tempo corresponde a multiplicação por
no domínio de Laplace, com correções relativas às condições iniciais.
Passo 5
Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial e impor condições iniciais nulas. Tomando
em
obtemos, usando as propriedades do passo anterior:
Agora impondo
e
, as parcelas com condições iniciais desaparecem, ficando:
Passo 6
Isolar
e formar a Função de Transferência. Na expressão
dividindo ambos os lados por
e por
obtemos
Portanto a Função de Transferência do sistema (entrada: força
; saída: deslocamento
) é exatamente
Passo 7
Interpretação prática e formas equivalentes (úteis na prova):
- Pode-se fatorar
no denominador:
Isso mostra explicitamente que há um pó em
(integrador) e um pó em
(decrescente real). Em muitos exercícios é útil escrever dessa forma para identificar polos e comportamento em baixa e alta frequência.
- Lembre-se: a derivação acima assume condições iniciais nulas; se houver condições iniciais não nulas, essas contribuições aparecem nas transformadas e não fazem parte da função de transferência pura. Na prova, ao pedir função de transferência, sempre use condições iniciais nulas.