Achar a solução do problema de valor inicial proposto, aplicando transformada de Laplace.
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com condições iniciais
O conteúdo necessário é a transformada de Laplace, o uso da transformada da função degrau unitário
e o teorema de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace a cada termo, usando
pelas condições iniciais nulas, e
Logo,
Passo 3
Fatorando
e o polinômio característico, obtemos
Então
Passo 4
Fazemos frações parciais em
Multiplicando por
e igualando coeficientes de
, obtemos o sistema
Passo 5
Da última equação vem
.
Das duas últimas sobre :
Das duas últimas sobre
Das duas primeiras sobre
:
Subtraindo,
e então
.
Passo 6
Logo
Então
Passo 7
Invertendo termo a termo e usando o teorema de deslocamento (
), temos primeiro
Portanto
Passo 8
Observando
e
, fica
Assim, em forma fechada com degrau,