Achar a solução do problema de valor inicial proposto, mediante as transformadas de Laplace.
(c)
e
(c)
Passo 1
O problema é um valor inicial para a EDO linear de
ª ordem forçada por
e por um impulso
, com
Vamos usar transformada de Laplace, explorando as propriedades de
– transformada de derivada,
– transformada de ,
– teorema do desfasamento em ,
e depois inverter termo a termo.
– transformada de derivada,
– transformada de
– teorema do desfasamento em
e depois inverter termo a termo.
Passo 2
Aplico Laplace em ambos os lados. Com
,
Logo
Agrupando
:
Passo 3
Isolando
obtemos
Passo 4
Vamos inverter cada parcela:
. Defina
Como
, tem-se
Assim a solução geral em forma de transformada inversa é
Passo 5
Podemos ainda reconhecer que
é exatamente a solução particular para o forçamento
, que por método dos coeficientes dá
E a parte homogênea com as condições iniciais sai
Finalmente, somando o impulso atrasado,