Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. x y' + y = 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial desse tipo aqui: . Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão das equações lineares: . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Curiosamente, voltamos à equação original. Mas com o fator integrante, podemos reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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