y' - y = cos(t) Res.: y = 1/2(sen t - cos t) + C e^t

Passo 1

Beleza! A gente tem a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar uma solução geral que envolva tanto a parte homogênea quanto a particular da equação. Vamos usar o método do fator integrante para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ) que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A verdade é que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , graças ao fator integrante.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Simplificando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou a fórmula padrão para integrais desse tipo. O resultado é:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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