Achar a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F_{2}(s)=\frac{5 s+2}{(s+1)(s+2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
F_{2}(s)=\frac{5 s+2}{(s+1)(s+2)^{2}}.
Dados fornecidos:
  • A função no domínio de s é F_{2}(s) conforme acima.
    O que é pedido:
  • Encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_{2}(s)\}, ou seja, a função no tempo cuja transformada de Laplace é F_{2}(s).

Passo 2

Breve lembrete das propriedades e transformadas que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Linearidade da transformada inversa: se \displaystyle F(s)=\sum_i c_i F_i(s), então \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\sum_i c_i \mathcal{L}^{-1}\{F_i(s)\}. Ou seja, podemos transformar termo a termo.
  • Transformadas básicas (fórmulas que usamos): \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a}, \qquad \mathcal{L}\{t e^{-a t}\}=\frac{1}{(s+a)^{2}}.Aqui a é uma constante e t\ge0 é a variável do tempo. Essas fórmulas são padrão: a primeira vem da integral \int_0^\infty e^{-st}e^{-at}\,dt=\int_0^\infty e^{-(s+a)t}dt, a segunda de derivar a primeira em relação a s (ou pela integração por partes).
  • Logo, termos do tipo \dfrac{1}{s+a} e \dfrac{1}{(s+a)^2} são fáceis de inverter: dão e^{-a t} e t e^{-a t}, respectivamente.
  • Para aproveitar isso, vamos decompor F_{2}(s) em frações parciais (porque o denominador tem fatores lineares e quadrático repetido).

Passo 3

Escolhemos decompor em frações parciais. Como o denominador é (s+1)(s+2)^{2}, a forma apropriada é
\frac{5 s+2}{(s+1)(s+2)^{2}}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}},
onde A, B e C são constantes a determinar. Explicação do porquê dessa forma: para um fator linear (s+1) usamos uma constante sobre (s+1); para o fator repetido (s+2)^{2} devemos incluir termos \dfrac{B}{s+2}+\dfrac{C}{(s+2)^{2}} para cobrir todas as potências até a multiplicidade.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (s+1)(s+2)^{2} para obter uma igualdade de polinômios no numerador:
5 s+2 = A(s+2)^{2} + B(s+1)(s+2) + C(s+1).
Agora vamos expandir os termos do lado direito para recolher potências de s. Primeiro calcule cada fator:
(s+2)^{2}=s^{2}+4s+4, \qquad (s+1)(s+2)=s^{2}+3s+2.
Substituindo:
5 s+2 = A(s^{2}+4s+4) + B(s^{2}+3s+2) + C(s+1).
Agrupando:
5 s+2 = (A+B)s^{2} + (4A+3B+C)s + (4A+2B+C).

Passo 5

Igualamos coeficientes dos polinômios (porque a igualdade vale para todo s\)). O polinômio do lado esquerdo tem coeficiente de \(s^{2}\) igual a \(0\), de \(s\) igual a \(5\) e termo constante igual a \(2\). Assim obtemos o sistema: \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 4A+3B+C=5,\\[4pt] 4A+2B+C=2. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo: subtraindo a terceira equação da segunda (para eliminar C\]) obtemos \[(4A+3B+C)-(4A+2B+C)=5-2 \quad\Rightarrow\quad B=3.\] Com \(B=3, da primeira equação A+B=0 vem
A=-B=-3.
Agora usamos a terceira equação para achar C:
4A+2B+C=2 \quad\Rightarrow\quad 4(-3)+2(3)+C=2.
Calculando: 4(-3)=-12 e 2(3)=6, então
-12+6+C=2 \quad\Rightarrow\quad C=2+6=8.
Verificação rápida (sanity check): na segunda equação 4A+3B+C=4(-3)+3(3)+8=-12+9+8=5, que coincide com o lado direito, logo está consistente.]

Passo 6

Substituindo A=-3, B=3, C=8 na decomposição, obtemos
\frac{5 s+2}{(s+1)(s+2)^{2}} = \frac{-3}{s+1} + \frac{3}{s+2} + \frac{8}{(s+2)^{2}}.
Explicação: cada fração agora corresponde a uma transformada inversa conhecida (ver Passo 2).

Passo 7

Aplicamos a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando as fórmulas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-a t}.
    Portanto:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-3}{s+1}\right\}=-3 e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{s+2}\right\}=3 e^{-2t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{8}{(s+2)^{2}}\right\}=8\,t e^{-2t}.

Passo 8

Somando os termos (linearidade) obtemos a função no tempo:
f(t) = -3 e^{-t} + 3 e^{-2t} + 8\,t e^{-2t}.
Podemos agrupar os termos com e^{-2t} se quiser enxugar:
f(t) = -3 e^{-t} + e^{-2t}\bigl(3 + 8t\bigr).
Verificação rápida (opcional): tomar a transformada de cada termo retorna as frações parciais e somando volta-se a F_{2}(s), então está correto.

Resposta

-3 e^{-t} + 3 e^{-2t} + 8\,t e^{-2t}

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