Achar a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
Dados fornecidos:
- A função no domínio de
é conforme acima.
O que é pedido: - Encontrar
, ou seja, a função no tempo cuja transformada de Laplace é .
Passo 2
Breve lembrete das propriedades e transformadas que vamos usar (explicado passo a passo):
- Linearidade da transformada inversa: se
, então . Ou seja, podemos transformar termo a termo. - Transformadas básicas (fórmulas que usamos):
Aqui é uma constante e é a variável do tempo. Essas fórmulas são padrão: a primeira vem da integral , a segunda de derivar a primeira em relação a (ou pela integração por partes). - Logo, termos do tipo
e são fáceis de inverter: dão e , respectivamente. - Para aproveitar isso, vamos decompor
em frações parciais (porque o denominador tem fatores lineares e quadrático repetido).
Passo 3
Escolhemos decompor em frações parciais. Como o denominador é
, a forma apropriada é
onde
,
e
são constantes a determinar. Explicação do porquê dessa forma: para um fator linear
usamos uma constante sobre
; para o fator repetido
devemos incluir termos
para cobrir todas as potências até a multiplicidade.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma igualdade de polinômios no numerador:
Agora vamos expandir os termos do lado direito para recolher potências de
. Primeiro calcule cada fator:
Substituindo:
Agrupando:
Passo 5
Igualamos coeficientes dos polinômios (porque a igualdade vale para todo
Vamos resolver passo a passo: subtraindo a terceira equação da segunda (para eliminar
, da primeira equação
vem
Agora usamos a terceira equação para achar
:
Calculando:
e
, então
Verificação rápida (sanity check): na segunda equação
, que coincide com o lado direito, logo está consistente.]
Passo 6
Substituindo
,
,
na decomposição, obtemos
Explicação: cada fração agora corresponde a uma transformada inversa conhecida (ver Passo 2).
Passo 7
Aplicamos a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando as fórmulas:
-
. -
.
Portanto:
Passo 8
Somando os termos (linearidade) obtemos a função no tempo:
Podemos agrupar os termos com
se quiser enxugar:
Verificação rápida (opcional): tomar a transformada de cada termo retorna as frações parciais e somando volta-se a
, então está correto.