Achar a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F_{1}(s)=\frac{6 s+3}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace inversa de
F_{1}(s)=\frac{6s+3}{s^{2}}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é F_{1}(s)=\dfrac{6s+3}{s^{2}}.
  • Quer-se determinar a função temporal f_{1}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_{1}(s)\}, para t\ge 0.

Passo 2

Relembre (aula curta) algumas propriedades e transformadas básicas que usarei:
  • Linearidade da transformada inversa: \mathcal{L}^{-1}\{aG(s)+bH(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}, onde a,b são constantes.
  • Transformadas padrões úteis: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.Portanto, invertendo: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t.
Explicação curta sobre variáveis: s é a variável do domínio de Laplace (complexa) e t é tempo (variável original). Essas fórmulas valem para t\ge 0 e para valores de s na região de convergência apropriada (aqui padrão).

Passo 3

Faço uma decomposição algébrica de F_{1}(s) em termos das frações básicas acima:
F_{1}(s)=\frac{6s+3}{s^{2}}=\frac{6s}{s^{2}}+\frac{3}{s^{2}}.
Simplificando cada termo:
\frac{6s}{s^{2}}=6\cdot\frac{1}{s},\qquad \frac{3}{s^{2}}=3\cdot\frac{1}{s^{2}}.
Logo
F_{1}(s)=6\cdot\frac{1}{s}+3\cdot\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Agora aplico a transformada de Laplace inversa termo a termo usando linearidade e as transformadas conhecidas:
  • Para o primeiro termo: \mathcal{L}^{-1}\left\{6\cdot\frac{1}{s}\right\}=6\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=6\cdot 1=6.
  • Para o segundo termo: \mathcal{L}^{-1}\left\{3\cdot\frac{1}{s^{2}}\right\}=3\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=3\cdot t=3t.

Passo 5

Somando os resultados obtidos pelo princípio da superposição:
f_{1}(t)=6+3t,\qquad t\ge 0.
Verificação rápida (útil na prova): calculando a transformada de Laplace de 6+3t,
\mathcal{L}\{6+3t\}=6\cdot\frac{1}{s}+3\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{6s+3}{s^{2}}=F_{1}(s),
o que confirma que a inversa está correta.

Resposta

f_{1}(t)=6+3t

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