Achar a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace inversa de
Informações dadas:
- A função no domínio de
é . - Quer-se determinar a função temporal
, para .
Passo 2
Relembre (aula curta) algumas propriedades e transformadas básicas que usarei:
- Linearidade da transformada inversa:
, onde são constantes. - Transformadas padrões úteis:
Portanto, invertendo:
Explicação curta sobre variáveis:
é a variável do domínio de Laplace (complexa) e
é tempo (variável original). Essas fórmulas valem para
e para valores de
na região de convergência apropriada (aqui padrão).
Passo 3
Faço uma decomposição algébrica de
em termos das frações básicas acima:
Simplificando cada termo:
Logo
Passo 4
Agora aplico a transformada de Laplace inversa termo a termo usando linearidade e as transformadas conhecidas:
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
Passo 5
Somando os resultados obtidos pelo princípio da superposição:
Verificação rápida (útil na prova): calculando a transformada de Laplace de
,
o que confirma que a inversa está correta.