B-1-3 Um sargento parava todo dia às 9 horas da manhã em frente a uma joalheria e acertava o seu relógio com um cronômetro colocado na janela. Certo dia, o sargento entrou na loja e indagou ao seu proprietário a cerca precisão do cronômetro. “Este cronômetro está de acordo com a hora do observatório nacional?”. “Não”, respondeu o proprietário. “Eu o acerto todos os dias às 5 horas da tarde com o tiro do canhão do forte”. E continuou: “Diga-me sargento, porque o senhor pára todos os dias em frente à minha loja e observa seu relógio?”. O sargento então respondeu: “Eu acerto o meu relógio com o seu cronômetro, pois sou eu quem dispara o canhão do forte”.
(a) O sistema descrito acima é em malha aberta ou fechada?
(b) Se o cronômetro da joalheria atrasa 1 minuto a cada 24 horas e o relógio do sargento atrasa 1 minuto a cada 8 horas, qual o erro entre a hora que o canhão deveria ser disparado e aquela em que é efetivamente disparado após 15 dias? Considere como instante inicial aquele em que o sargento dispara um tiro de canhão pela primeira vez.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informações dadas:
    • O sargento ajusta o seu relógio diariamente às 9 horas da manhã com o cronômetro da joalheria (ele lê o cronômetro e regula o seu relógio).
    • O proprietário da joalheria acerta o cronômetro todos os dias às 17 horas com o tiro do canhão do forte.
    • O cronômetro da joalheria atrasa 1 minuto a cada 24 horas.
    • O relógio do sargento atrasa 1 minuto a cada 8 horas.
    • O instante inicial ( t=0) é o momento em que o sargento dispara o canhão pela primeira vez; suponha que, nesse instante inicial, todos os instrumentos (relógio do sargento, cronômetro da joalheria e hora certa) coincidam.
  • O que se pede:
    (a) Indicar se o sistema descrito é em malha aberta ou fechada.
    (b) Calcular o erro (em minutos) entre a hora que o canhão deveria ser disparado ( 17\!:\!00 hora verdadeira) e a hora em que ele é efetivamente disparado, após 15 dias.

Passo 2

Resposta da parte (a) com explicação didática curta e amigável.
  • Observando as ligações: o sargento ajusta seu relógio pelo cronômetro da joalheria; o proprietário ajusta o cronômetro pelo tiro do canhão que é disparado segundo o relógio do sargento. Ou seja, há uma correção mútua em que a ação (disparo do canhão) é influenciada pelo relógio que foi por sua vez ajustado pelo cronômetro, que é reajustado pelo próprio canhão — existe realimentação (feedback) entre os elementos.
  • Conclusão: é um sistema em malha fechada (há realimentação fechando o laço).

Passo 3

Modelo físico-matemático e raciocínio passo a passo (introdução das taxas de funcionamento).
  • É útil trabalhar em minutos. Em 24 horas há 1440 minutos.
  • O cronômetro da joalheria atrasa 1 minuto a cada 1440 minutos de tempo verdadeiro. Logo, a razão de marcha (fração do tempo verdadeiro que o cronômetro conta) é r_c=\frac{1440-1}{1440}=\frac{1439}{1440}.Isso quer dizer: em \Delta t minutos de tempo verdadeiro o cronômetro avança r_c\Delta t minutos.
  • O relógio do sargento atrasa 1 minuto a cada 8 horas =480 minutos. Assim a razão de marcha do relógio do sargento é r_s=\frac{480-1}{480}=\frac{479}{480}.Em \Delta t minutos de tempo verdadeiro o relógio do sargento avança r_s\Delta t minutos.
  • Períodos importantes do dia:
    • Intervalo entre 17\!:\!00 de um dia e 9\!:\!00 do dia seguinte: 16 horas =960 minutos.
    • Intervalo entre 9\!:\!00 e 17\!:\!00 do mesmo dia: 8 horas =480 minutos.

Passo 4

Definição do erro diário e preparação para montar a recorrência.
  • Denotemos por E_k o erro (em minutos) no instante em que o canhão é disparado no dia k: isto é, E_k = \text{(tempo real do disparo no dia \(k\))} - \text{(tempo verdadeiro \(17\!:\!00\) desse dia)}.Assim E_0=0 conforme o enunciado (no instante inicial tudo coincide).
  • O procedimento diário que liga E_k a E_{k+1} é:
    1. No instante do disparo do dia k (tempo real = 17\!:\!00 + E_k), o proprietário ajusta o cronômetro para coincidir com esse instante. Logo imediatamente após o ajuste, o cronômetro vale exatamente o tempo real do disparo.
    2. Entre esse instante e as 9\!:\!00 do dia seguinte passam 960 minutos de tempo real; nesse intervalo o cronômetro corre com razão r_c, portanto quando for 9\!:\!00 de fato o cronômetro mostrará um valor atrasado de 960(1-r_c) minutos em relação ao tempo real. Em termos simples: ao chegar 9\!:\!00 verdadeiro, o cronômetro estará atrasado de 960\,(1-r_c)=960\Bigl(1-\frac{1439}{1440}\Bigr)=\frac{2}{3}\\ \text{minuto}.Assim, quando o sargento regula seu relógio às 9\!:\!00, ele ajusta seu relógio para o valor do cronômetro; portanto imediatamente após ajustar, o relógio do sargento estará atrasado, em relação ao tempo real, de \text{atraso inicial do relógio} = E_k - \frac{2}{3},óporque o cronômetro começou com erro E_k (foi ajustado pelo disparo errado) e perdeu \tfrac{2}{3} minuto até as 9\!:\!00.
    3. Depois das 9\!:\!00 o relógio do sargento corre com razão r_s. Ele vai disparar o canhão quando o seu relógio marcar 17\!:\!00 (ou seja, quando o mostrador tiver avançado 480 minutos a partir das 9\!:\!00 no mostrador). Como o relógio corre mais devagar, o tempo real necessário para o mostrador do sargento avançar 480 minutos é maior que 480 minutos; isso gera o novo erro E_{k+1}.

Passo 5

Montagem da equação para o tempo real do disparo do dia seguinte e obtenção da recorrência.
  • Seja t_{\text{sync}} o tempo real correspondente ao 9\!:\!00 do dia seguinte. Nesse instante o relógio do sargento (após ajuste) vale w(t_{\text{sync}})=t_{\text{sync}} + E_k - \tfrac{2}{3},porque o cronômetro mostrou t_{\text{sync}} + E_k - \tfrac{2}{3} e o sargento igualou seu relógio a essa leitura.
  • O disparo do dia seguinte ocorre no menor tempo real t_{\text{fire}} tal que o mostrador do sargento marque 17\!:\!00 (isto é, marque t_{\text{sync}}+480 em minutos absolutos). O mostrador do sargento evolui assim: w(t_{\text{fire}})=w(t_{\text{sync}})+r_s\,(t_{\text{fire}}-t_{\text{sync}}).Igualando ao valor do mostrador desejado: t_{\text{sync}} + E_k - \tfrac{2}{3} + r_s\,(t_{\text{fire}}-t_{\text{sync}})=t_{\text{sync}}+480.Isolando t_{\text{fire}}-t_{\text{sync}}: r_s\,(t_{\text{fire}}-t_{\text{sync}})=480 - E_k + \tfrac{2}{3}.Portanto t_{\text{fire}}-t_{\text{sync}}=\frac{480 - E_k + \tfrac{2}{3}}{r_s}.
  • O erro no próximo disparo é E_{k+1}=t_{\text{fire}}-(t_{\text{sync}}+480)=\frac{480 - E_k + \tfrac{2}{3}}{r_s}-480.Substituindo r_s=\dfrac{479}{480} e simplificando dá uma forma linear recorrente. Façamos as simplificações em frações racionais.

Passo 6

Simplificação algébrica da recorrência e obtenção dos coeficientes numéricos racionais.
  • Defina A=480+\tfrac{2}{3}=\dfrac{1442}{3}. A fórmula acima pode ser escrita E_{k+1}=\frac{A - E_k}{r_s}-480.Com r_s=\dfrac{479}{480} isso dá E_{k+1}=\frac{480}{479}\bigl(A - E_k\bigr)-480.
  • Reorganizando na forma E_{k+1}=b - a E_k obtemos a=\frac{480}{479},\qquad b=\frac{480}{479}A-480.
  • Calcule b explicitamente: b=\frac{480}{479}\cdot\frac{1442}{3}-480 =\frac{480}{479}\cdot\frac{1442-3\cdot 479}{3} =\frac{480}{479}\cdot\frac{5}{3} =\frac{2400}{1437}.(A última simplificação usa 3\cdot 479=1437.)
  • Assim a recorrência final é \boxed{\,E_{k+1}=\frac{2400}{1437}-\frac{480}{479}\,E_k\,}com E_0=0.

Passo 7

Resolução da recorrência por fórmula fechada e cálculo de E_{15}.
  • A recorrência é linear não-homogênea de ordem 1. Resolver a homogênea associada y_{k+1}=-a y_k y_k=C(-a)^k.
  • Uma solução particular constante E^* satisfaz E^*=b-aE^*, logo E^*=\frac{b}{1+a}.Com os valores racionais isso é E^*=\frac{2400/1437}{1+480/479}=\frac{2400}{1437}\cdot\frac{479}{959}=\frac{1\,149\,600}{1\,378\,083}\\ \text{(minutos)}.Numericamente E^*\approx0{,}83420 minuto.
  • A solução geral com E_0=0 é E_k=E^*\bigl(1-(-a)^k\bigr), \qquad a=\frac{480}{479}.
  • Queremos E_{15}. Primeiro calcule a^{15}=\bigl(\tfrac{480}{479}\bigr)^{15}. Usando uma aproximação exponencial (ou potência direta) obtém-se a^{15}\approx 1{,}031789\quad\Rightarrow\quad (-a)^{15}\approx -1{,}031789.Então E_{15}=E^*\bigl(1-(-a)^{15}\bigr)=E^*\bigl(1+ a^{15}\bigr).
  • Substituindo os valores numéricos: E^*\approx 0{,}834203,\qquad 1+a^{15}\approx 2{,}031789,portanto E_{15}\approx 0{,}834203\times 2{,}031789\approx 1{,}69492\\ \text{(minutos)}.
  • Em minutos e segundos isso é aproximadamente 1{,}69492\\ \text{min} = 1\\ \text{min}\\\ +\\\ 0{,}69492\times 60\\ \text{s}\approx 1\\ \text{min}\\\ 41{,}7\\ \text{s}.

Passo 8

Interpretação final e comentário rápido (ânimo!).
  • Resultado: após 15 dias o canhão estará a disparar aproximadamente 1{,}695 minutos tarde em relação às 17\!:\!00 verdadeiras — isto é, cerca de 1 minuto e 42 segundos atrasado.
  • Observação intuitiva: o sistema em malha fechada não mantém a hora perfeita porque ambos os elementos possuem deriva; o laço apenas produz um erro periódico que se estabiliza num comportamento oscilante pequeno. Você conseguiu!

Resposta

(a) Malha fechada.
(b) Aproximadamente 1{,}69492 minutos de atraso, isto é, cerca de 1 minuto e 41{,}7 segundos.

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