B-1-3 Um sargento parava todo dia às 9 horas da manhã em frente a uma joalheria e acertava o seu relógio com um cronômetro colocado na janela. Certo dia, o sargento entrou na loja e indagou ao seu proprietário a cerca precisão do cronômetro. “Este cronômetro está de acordo com a hora do observatório nacional?”. “Não”, respondeu o proprietário. “Eu o acerto todos os dias às 5 horas da tarde com o tiro do canhão do forte”. E continuou: “Diga-me sargento, porque o senhor pára todos os dias em frente à minha loja e observa seu relógio?”. O sargento então respondeu: “Eu acerto o meu relógio com o seu cronômetro, pois sou eu quem dispara o canhão do forte”.
(a) O sistema descrito acima é em malha aberta ou fechada?
(b) Se o cronômetro da joalheria atrasa 1 minuto a cada 24 horas e o relógio do sargento atrasa 1 minuto a cada 8 horas, qual o erro entre a hora que o canhão deveria ser disparado e aquela em que é efetivamente disparado após 15 dias? Considere como instante inicial aquele em que o sargento dispara um tiro de canhão pela primeira vez.
(a) O sistema descrito acima é em malha aberta ou fechada?
(b) Se o cronômetro da joalheria atrasa 1 minuto a cada 24 horas e o relógio do sargento atrasa 1 minuto a cada 8 horas, qual o erro entre a hora que o canhão deveria ser disparado e aquela em que é efetivamente disparado após 15 dias? Considere como instante inicial aquele em que o sargento dispara um tiro de canhão pela primeira vez.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Informações dadas:
- O sargento ajusta o seu relógio diariamente às
horas da manhã com o cronômetro da joalheria (ele lê o cronômetro e regula o seu relógio). - O proprietário da joalheria acerta o cronômetro todos os dias às
horas com o tiro do canhão do forte. - O cronômetro da joalheria atrasa
minuto a cada horas. - O relógio do sargento atrasa
minuto a cada horas. - O instante inicial (
) é o momento em que o sargento dispara o canhão pela primeira vez; suponha que, nesse instante inicial, todos os instrumentos (relógio do sargento, cronômetro da joalheria e hora certa) coincidam.
- O sargento ajusta o seu relógio diariamente às
- O que se pede:
(a) Indicar se o sistema descrito é em malha aberta ou fechada.
(b) Calcular o erro (em minutos) entre a hora que o canhão deveria ser disparado (hora verdadeira) e a hora em que ele é efetivamente disparado, após dias.
Passo 2
Resposta da parte (a) com explicação didática curta e amigável.
- Observando as ligações: o sargento ajusta seu relógio pelo cronômetro da joalheria; o proprietário ajusta o cronômetro pelo tiro do canhão que é disparado segundo o relógio do sargento. Ou seja, há uma correção mútua em que a ação (disparo do canhão) é influenciada pelo relógio que foi por sua vez ajustado pelo cronômetro, que é reajustado pelo próprio canhão — existe realimentação (feedback) entre os elementos.
- Conclusão: é um sistema em malha fechada (há realimentação fechando o laço).
Passo 3
Modelo físico-matemático e raciocínio passo a passo (introdução das taxas de funcionamento).
- É útil trabalhar em minutos. Em
horas há minutos. - O cronômetro da joalheria atrasa
minuto a cada minutos de tempo verdadeiro. Logo, a razão de marcha (fração do tempo verdadeiro que o cronômetro conta) é Isso quer dizer: em minutos de tempo verdadeiro o cronômetro avança minutos. - O relógio do sargento atrasa
minuto a cada horas minutos. Assim a razão de marcha do relógio do sargento é Em minutos de tempo verdadeiro o relógio do sargento avança minutos. - Períodos importantes do dia:
- Intervalo entre
de um dia e do dia seguinte: horas minutos. - Intervalo entre
e do mesmo dia: horas minutos.
- Intervalo entre
Passo 4
Definição do erro diário e preparação para montar a recorrência.
- Denotemos por
o erro (em minutos) no instante em que o canhão é disparado no dia : isto é, Assim conforme o enunciado (no instante inicial tudo coincide). - O procedimento diário que liga
a é: - No instante do disparo do dia
(tempo real ), o proprietário ajusta o cronômetro para coincidir com esse instante. Logo imediatamente após o ajuste, o cronômetro vale exatamente o tempo real do disparo. - Entre esse instante e as
do dia seguinte passam minutos de tempo real; nesse intervalo o cronômetro corre com razão , portanto quando for de fato o cronômetro mostrará um valor atrasado de minutos em relação ao tempo real. Em termos simples: ao chegar verdadeiro, o cronômetro estará atrasado de Assim, quando o sargento regula seu relógio às , ele ajusta seu relógio para o valor do cronômetro; portanto imediatamente após ajustar, o relógio do sargento estará atrasado, em relação ao tempo real, de porque o cronômetro começou com erro (foi ajustado pelo disparo errado) e perdeu minuto até as . - Depois das
o relógio do sargento corre com razão . Ele vai disparar o canhão quando o seu relógio marcar (ou seja, quando o mostrador tiver avançado minutos a partir das no mostrador). Como o relógio corre mais devagar, o tempo real necessário para o mostrador do sargento avançar minutos é maior que minutos; isso gera o novo erro .
- No instante do disparo do dia
Passo 5
Montagem da equação para o tempo real do disparo do dia seguinte e obtenção da recorrência.
- Seja
o tempo real correspondente ao do dia seguinte. Nesse instante o relógio do sargento (após ajuste) vale porque o cronômetro mostrou e o sargento igualou seu relógio a essa leitura. - O disparo do dia seguinte ocorre no menor tempo real
tal que o mostrador do sargento marque (isto é, marque em minutos absolutos). O mostrador do sargento evolui assim: Igualando ao valor do mostrador desejado: Isolando : Portanto - O erro no próximo disparo é
Substituindo e simplificando dá uma forma linear recorrente. Façamos as simplificações em frações racionais.
Passo 6
Simplificação algébrica da recorrência e obtenção dos coeficientes numéricos racionais.
- Defina
. A fórmula acima pode ser escrita Com isso dá - Reorganizando na forma
obtemos - Calcule
explicitamente: (A última simplificação usa .) - Assim a recorrência final é
com .
Passo 7
Resolução da recorrência por fórmula fechada e cálculo de
.
- A recorrência é linear não-homogênea de ordem 1. Resolver a homogênea associada
dá . - Uma solução particular constante
satisfaz , logo Com os valores racionais isso é Numericamente minuto. - A solução geral com
é - Queremos
. Primeiro calcule . Usando uma aproximação exponencial (ou potência direta) obtém-se Então - Substituindo os valores numéricos:
portanto - Em minutos e segundos isso é aproximadamente
Passo 8
Interpretação final e comentário rápido (ânimo!).
- Resultado: após
dias o canhão estará a disparar aproximadamente minutos tarde em relação às verdadeiras — isto é, cerca de minuto e segundos atrasado. - Observação intuitiva: o sistema em malha fechada não mantém a hora perfeita porque ambos os elementos possuem deriva; o laço apenas produz um erro periódico que se estabiliza num comportamento oscilante pequeno. Você conseguiu!
Resposta
(a) Malha fechada.
(b) Aproximadamente minutos de atraso, isto é, cerca de
minuto e
segundos.
(b) Aproximadamente