Ache \boldsymbol{m} para que o sistema \left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=0 \\\ x+4 y-5 z=0 \\\\ 3 x+m y+2 z=0\end{array}\right.
tenha soluções próprias
Resposta:
m=\frac{3}{13}

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo
\begin{cases} 2x - y + 3z = 0,\\\ x + 4y - 5z = 0,\\\\ 3x + m y + 2z = 0 \end{cases}
e pede os valores de m para que existam soluções próprias (i.e., não triviais). Em teoria de sistemas lineares, isso ocorre exatamente quando o determinante da matriz de coeficientes é zero.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 4 & -5\\\\ 3 & m & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão em cofatores na primeira linha:
\det(A) =2\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -5\\\ m & 2\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 3 & 2\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & m\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}4 & -5\\\ m & 2\end{pmatrix} =4\cdot2 -(-5)\,m = 8 + 5m,
\det\begin{pmatrix}1 & -5\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 -(-5)\cdot3 = 2 + 15 = 17,
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & m\end{pmatrix} =1\cdot m - 4\cdot3 = m - 12.
Substituindo,
\det(A) =2(8+5m) + 17 + 3(m-12) =16 +10m +17 +3m -36 =13m -3.

Passo 4

Impondo a condição de existência de solução própria, fazemos
\det(A)=0 \quad\Longrightarrow\quad 13m - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{3}{13}.

Resposta

m = \frac{3}{13}

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